《高等代数智能电子教案课件第三章线性方程组 第四节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数智能电子教案课件第三章线性方程组 第四节（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容 矩阵的秩的定义 矩阵的秩与行列式的关系 第四节矩阵的秩 矩阵的秩的求法 一 矩阵秩的定义 在上一节我们定义了向量组的秩 如果我们把 矩阵的每一行看成一个向量 那么矩阵就可以认为 是由这些行向量组成的 同样 如果把每列看成一 个向量 那么矩阵也可以认为是由列向量组成的 定义16所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向 量组的秩 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩 1 矩阵行秩和列秩的定义 例1设有矩阵 求矩阵A的行秩和列秩 解 矩阵A的行向量组是 1 1 1 3 1 2 0 2 1 4 3 0 0 0 5 4 0 0 0 0 下面来求向量组 1 2 3 4的极大线性无关 组 显然 1 2线性无关
2、再来讨论 1 2 3 的线性相关性 设有数k1 k2 k3 使 k1 1 k2 2 k3 3 0 它对应的线性方程组为 解得k1 k2 k3 0 所以 1 2 3线性无关 因 为向量组 1 2 3 4中含有零向量 它必线性相 关 故向量组 1 2 3 4的秩为3 矩阵A的列向量组为 1 1 0 0 0 2 1 2 0 0 3 3 1 0 0 4 1 4 5 0 用同样的方法可证 1 2 4线性无关 而 所以向量组 1 2 3 4线性相关 其秩为3 因此 矩阵A的行秩和列秩都是3 2 行秩与列秩的性质 例1中矩阵A的行秩和列秩相等 这一点不 是偶然的 下面来一般地证明行秩等于列秩 作为一个准备
3、我们先利用行秩的概念把第 一节中的 改进如下 引理如果齐次线性方程组 的系数矩阵 的行秩r n 那么它有非零解 证明 设矩阵A的行向量组为 1 2 s 因为它的秩为r 所以极大线性无关组由r个向量 组成 不妨设 1 2 r是一个极大线性无关组 因为 1 2 r s与 1 2 r等价 所以方程组 1 与方程组 同解 对于方程组 2 应用 证毕 即得 由此就可以证明 定理4矩阵的行秩与列秩相等 证明 设所讨论的矩阵为 而A的行秩 r 列秩 r1 为了证明r r1 我 们先来证r r1 设矩阵A的行向量组为 1 2 s 不妨设 1 2 r是它的一个极大线性无关组 因为 1 2 r是线性无关的 所以方
4、程 x1 1 x2 2 xr r 0 只有零解 只有零解 这也就是说 齐次线性方程组 由引理 这个方程的系数矩阵 的行秩 r 因此在它的行向量中可以找到r个是 线性无关的 不妨设为 线性无关 根据上一节的说明 在这些向量上添上几个分量后 所得的向量组 也线性无关 它们正好是矩阵A的r个列向量 由 它们的线性无关性可知矩阵A的列秩r1至少是r 也就是说r1 r 用同样的方法可证r r1 这样就证明了行秩 与列秩相等 证毕 3 矩阵的秩 定义17把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵 二 矩阵的秩与行列式的关系 1 齐次线性方程组有非零解的充要条件 现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联 系起来 先看n n
5、矩阵的情形 的秩 定理5n n矩阵 的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n 证明 先证充分性 因为A的秩小于n 所 以A的n个行向量组线性相关 当n 1时 A只 有一个数 即只有一个一维向量 它又是线性相关 的向量组 就是零向量 从而 A 0 0 当 n 1时 矩阵A中有一行是其余各行的线性组合 从这行依次减去其余各行的相应倍数 这一行就全 变成零 由行列式的性质可知 A 0 再证必要性 对n作数学归纳法 当n 1时 由 A 0可知A的仅有的一个 元素就是零 因而A的秩为零 假设结论对n 1级矩阵已证 现在来看n级矩 阵的情形 设矩阵A的行向量组为 1 2 n 检查A的第一列的元素a11 a
6、21 an1 如果这n 个元素全为零 那么A的列向量组中含有零向量 当然秩小于n 如果这n个元素中有一个不为零 其中 由 A 0可知n 1级矩阵 譬如说a11 0 那么从第二行直到第n行减去第一 行的适当的倍数 把a21 an1消成零 即得 的行列式为零 根据归纳法假定 这个矩阵的行向 量组线性相关 因而向量组 线性相关 使 这就是说 有不全为零的数k2 kn 改写一下 有 这组数当然也不 全为零 从而向量组 1 2 n线性相关 它 的秩小于n 根据归纳法原理 必要性得证 证毕 根据这个定理 可以得到有关齐次线性方程组的 重要结论 推论齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵 的行
7、列式等于零 2 矩阵的秩与行列式的关系 为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系 引入 定义18在一个s n矩阵A中任意选定k 行和k列 位于这些选定的行和列的交点上的k2个 元素按原来的次序所组成的k级行列式 称为A的 一个k级子式 例如 在矩阵 中 选第1 3行和第3 4列 它们交点上的元素 所成的2级行列式 就是一个2级子式 又如选第1 2 3行和第1 2 4 列 相应的3级子式就是 由于行和列的选法有很多 所以k级子式也是 很多的 矩阵的秩与行列式的关系表现为 定理6一矩阵的秩是r的充分必要条件为 矩阵中有一个r级子式不为零 同时所有r 1级 子式全为零 证明 先证必要性 设矩阵A的秩为r
8、这 时 由 知矩阵A中任意r 1个行向量 都线性相关 矩阵A的任意r 1级子式的行向量 也线性相关 由 这种子式全为零 现在 来证矩阵A中至少有一个r级子式不为零 因为 的秩为r 所以在A中有r个行向量线性无关 不 妨设就是前r个行向量 把这r行取出来 作一新 的矩阵 显然 矩阵A1的行秩为r 因而它的列秩也是r 这就是说 在A1中有r列线性无关 不妨设前r 列线性无关 因之 行列式 它就是矩阵A中一个r级子式 这就证明了必要性 再证充分性 设在矩阵A中有一r级子式不为 零 而所有r 1级子式全为零 我们证明A的秩 为r 首先我们指出 由行列式按一行展开的公式可 知 如果A的r 1级子式全为零
9、 那么A的r 2 级子式也一定为零 从而A的所有级数大于r的子 式全为零 设A的秩为t 由必要性 t不能小于r 否 则A的r级子式就全为零了 同样 t也不能大于 r 否则A就要有一个t t r 1 级子式不为零 而按照假定这是不可能的 因而t r 这就是要证 明的结论 证毕 例2利用下列模型求矩阵的秩 三 矩阵秩的求法 1 矩阵秩的计算方法 计算矩阵秩的一个较有效的方法是 用初等 行变换把它变成阶梯形矩阵 这个阶梯形矩阵中非 零行的个数就是原来矩阵的秩 2 向量组秩的计算方法 向量组秩的计算方法是 把向量组中的每一 个向量作为矩阵的一行 或列 构成矩阵 则这个矩 阵的秩即为所给的向量组的秩 3
10、 向量组的极大线性无关组的求法 求向量组的极大线性无关组的方法是 把向量 组中的每一个向量作为矩阵的一列构成一个矩阵 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵 在阶梯形矩阵中 每个阶梯中的第一个非零元所在 的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量 若要用极大线性无关组来表示其余向量 则需进一 步把阶梯形矩阵化成行最简形 这时 不在极大线 性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表 示该列所对应的向量的表示系数 例3求下列矩阵的秩 单击这里开始 例4求下列向量组的秩 一个极大线性无关 单击这里开始 组并用极大线性无关组来表示其余向量 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容
11、已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮
