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1、第六节连续函数的运算与初等函数的连续性 一 连续函数的和 差 积 商的连续性二 反函数与复合函数的连续性三 初等函数的连续性 一 连续函数的和 差 积 商的连续性 定理2 16有限个在某点连续的函数的代数和是一个在该点连续的函数 定理2 17有限个在某点连续的函数之积是一个在该点连续的函数 定理2 18在某点连续的两个函数之商 当分母不为零时 是一个在该点连续的函数 从而F x 在点x0处连续 定理2 18得证 仅证定理2 18 证设f x g x 在点x0处连续 且记 根据函数在x0点连续的定义及商的极限运算法则 有 二 反函数与复合函数的连续性 定理2 19如果函数y f x 在区间Ix上
2、严格单调增加 或严格单调减少 并且连续 值域为Iy 则其反函数在区间Iy上严格单调增加 或严格单调减少 并且连续 定理2 20设函数y f u 在点u0处连续 函数当时极限存在 且则复合函数当时的极限也存在 且等于即 定理2 20的结论 可以换一种写法 这表明在定理2 20的条件下 求复合函数的极限时 函数符号f与极限符号可以交换顺序 定理2 20的结论 还可以换成另一种写法 这表明在定理2 20的条件下 如果作变量代换则求极限就变成求极限 这给我们求极限时常用的变量代换方法提供了理论依据 定理2 21设函数y f u 在点u0处连续 又函数在x0处连续 且 则复合函数在点x x0处连续 例1
3、 解 由于 而y sinu在u e处连续 例2 由定理2 19知 例3 解 三 初等函数的连续性 由初等函数的定义和基本初等函数的连续性 再根据连续函数的四则运算性质和连续函数的复合函数的连续性质 可以得出如下重要结论 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 根据这个结论 如果f x 是初等函数 是其定义区间内的一个点 那么求时 只需将代入函数求函数值即可 解由于被求极限的函数是初等函数 x 1是其定义区间内的一点 所以 例4 例5 解 所以在点x 0处f x 既左连续又右连续 从而连续 所以 x 1是f x 的第二类间断点 x 1是第二类间断点 x 2是第一类间断点 所以x 2是f x 的第一类间断点
