《高三数学选择填空题压轴专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学选择填空题压轴专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题（教师版）（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资源备战高考高考数学选择填空题压轴专题专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题一方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：根据题意求出的值，再由离心率的定义椭圆、双曲线直接求解；由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于椭圆、双曲线消去b，构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等二解题策略类型一 直接求出或求出与的比值，以求解【例1】（2020河南高考模拟（理）抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=10m1的右
2、焦点，点P是曲线C1,C2的交点，点Q在抛物线的准线上，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C2的离心率为（ ）A2+1B22+3C210-3D210+3【答案】A【解析】【分析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.【详解】由题意知，抛物线焦点F1,0，准线与x轴交点F(-1,0)，双曲线半焦距c=1，设点Q(-1,y) FPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，即PF=PQ，结合P点在抛物线上，所以PQ抛物线的准线，从而PFx轴，所以P1,2，2a=PF-PF=22-2 即a=2-1.故双曲线的离心率为e=12-1
3、=2+1.故选A【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围【举一反三】1.（2020兰州模拟）平面直角坐标系中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为ABC2D【答案】B【解析】联立渐近线与抛物线方程得，抛物线焦点为F(0,p2)，由三角形垂心的性质，得，即，所以，所以，所以，所以的离心率为故选：B2.（2020广西桂林市高三）设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离
4、心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为抛物线，所以，准线为，将代入得，不妨设为右支上的点，则，因为是等边三角形，则，即，所以，因此双曲线的离心率为.故选A3.已知双曲线 的右焦点为抛物线 的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】B【解析】设，则，所以抛物线的方程为.因为点到双曲线的一条渐近线的距离为，不妨设这条渐近线的方程为，即，则，又点在双曲线上，所以，解得，故，即.故选B.类型二 构造的齐次式，解出【例2】（2020陕西高考模拟）已知椭圆 ，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，
5、则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：设点M（m，n）,则N（-m，-n）,其中，则设P（x，y），因为点P在椭圆上，所以，即又k1=，k2=，因为=,所以|= 代入得：|=，即，所以，所以【指点迷津】本题考查离心率的求法，解题的关键是把题中的基本量（）来表示，然后建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程， 化简整理的运算能力是解决此题的关键.【举一反三】1.（2020重庆八中高三）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为ABCD【答案】C【解析】依题
6、意，故，两边除以得，解得.2（2020广东南海中学高考模拟）是P为双曲线上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且PF2F1F2，PF1与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形OF2PQ有内切圆，则C的离心率为_【答案】2【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，即，化简得，答案为.3（2020黑龙江大庆中学高三（理）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为_【答案】【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论DAB为钝角，可得0，或ADB为钝角
7、，可得0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围详解：设双曲线的左焦点F1（c，0），令x=c，可得y=，可得A（c，），B（c，），设D（0，b），可得=（c，b），=（0，），=（c，b），由ABD为钝角三角形，可能DAB为钝角，可得0，即为0（b）0，化为ab，即有a2b2=c2a2，可得c22a2，即e=，又e1，可得1e，可能ADB中，ADB为钝角，可得0，即为c2（+b）（b）0，化为c44a2c2+2a40，由e=，可得e44e2+20，又e1，可得e综上可得，e的范围为（1，）（+）类型三 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】（2020黑龙江牡丹
8、江一中高三（理）椭圆上有一点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e的取值范围；首先满足QF1QP，点Q在椭圆的内部，故点Q轨迹在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c椭圆短半轴b，由a2c2b2，可解得e的一个范围；其次由sinF1QF2，可求得cosF1QF2在PF1F2中，而|F1F2|2c，|PF1|+|PF2|2a是定值，由基本不等式可得PF1|PF2|；由余弦定理得4c2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cosF1QF
9、2，结合不等关系即可解出e的取值范围【详解】解：QF1QP，点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，点Q在椭圆的内部，以F1F2为直径的圆在椭圆内，cb；c2a2c2，故0esinF1PQ，cosF1PQ；设|PF1|m，则|PF2|n，而|F1F2|2c，|PF1|+|PF2|m+n2a，在PF1F2中，由余弦定理得4c24c2（m+n）22mn2mn；即4c24a2mn；mn；由基本不等式得：mna2，当且仅当mn时取等号；由题意知：QF1QP，mn，mna2，a2a226c2；故，e综上可得：e故选：D【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点
10、且垂直于长轴的弦）长的结论.（2）图象特征的运用，椭圆的性质、圆的性质，余弦定理、基本不等式的应用; 【举一反三】1（2020辽宁实验中学高三期末（理）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）ABCD5【答案】B【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以 是直角三角形，且 ,所以由勾股定理，得，得,故选B.2（2020湖北高三）已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，
11、则的最小值是_【答案】【解析】连接, 由为中位线，可得 , 圆，可得且，由椭圆的定义可得，可得，又，可得，即有，即为，化为，即，即有，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.3（2020湖北高三期末）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，可得四边形为矩形，设，即有，且，由，可得，则，可得，即有，则，即有故答案为：类型四 利用平面几何性质或圆锥曲
12、线性质【例4】（2020四川高三期末（理）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）A3B2CD【答案】A【解析】【分析】由，得到，根据，从而得到的关系，求出离心率，得到答案.【详解】，又，而，离心率，故选：A【例5】（2020黑龙江大庆中学高三）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）AB3C6D【答案】C【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到
13、答案.【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，两式相减，可得：，. ，当且仅当时等立，的最小值为6，故选:C【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如圆锥曲线的定义及图形中蕴含的几何性质，帮助建立方程或不等式.【举一反三】1（2020四川高三期末）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为_【答案】【解析】设直线与圆相切于点 ，则 ，取的中点 ,连接 ，由于,则 ，由，则，即有，由双曲线的定义可得，即，即，,即，即，则.故答案为：.2（2018安徽高考模拟）设F是椭圆C：（ab0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2y2与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为 【答案】【解析】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.A，B三等分线段PF，H也是线段AB的中点，即OHAB.设|OH|d，则|PE|2d，|PF|2a2d，|AH|.在RtOHA中，|OA|2|OH|2|AH|2，解得a5d.在RtOHF中，|FH|，|OH|，|OF|c.由|OF|2|OH|2|FH|2，化简得17a225c2，.即椭圆C的离心率为.故选：D.3（2020山东高考模拟）过双曲线1（ab0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，OAB90，O为
