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1、2010届高三高考必备：模拟试题压轴大题选编（二）1.（湖北省黄冈中学2010届高三11月月考） 已知函数的反函数为，数列和满足：，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为（1）求数列的通项公式；（2）若数列的项仅最小，求的取值范围；（3）令函数，数列满足：，且，其中证明：【解析】（1）令，解得，由，解得，函数的反函数，则，得是以2为首项，l为公差的等差数列，故（2），在点处的切线方程为， 令， 得，仅当时取得最小值，解之， 的取值范围为（3），则，因，则，显然 ，2.(长沙市一中2010届高三第五次月考试卷) 已知函数（1）讨论函数f (x)的极值情况；（2）设g (x) = ln(x + 1)
2、，当x1x20时，试比较f (x1 x2)与g (x1 x2)及g (x1) g (x2)三者的大小；并说明理由【解析】（1）当x0时，f (x) = ex 1在(0，+)单调递增，且f (x)0；当x0时，若m = 0，f (x) = x20, f (x) =在(，0上单调递增，且f (x) =又f (0) = 0，f (x)在R上是增函数，无极植；若m0，则f (x) =在(，0)单调递增，同可知f (x)在R上也是增函数，无极值；4分若m0，f (x)在(，2m上单调递增，在(2m，0)单调递减，又f (x)在(0, +)上递增，故f (x)有极小值f (0) = 0，f (x)有极大值
3、 6分（2）当x 0时，先比较ex 1与ln(x + 1)的大小，设h(x) = ex 1ln(x + 1) (x 0)h(x) =恒成立h(x)在(0，+)是增函数，h(x)h (0) = 0ex 1ln(x + 1) 0即ex 1ln(x + 1)也就是f (x) g (x) ，成立故当x1 x20时，f (x1 x2) g (x1 x2)10分再比较与g (x1) g (x2) = ln(x1 + 1) ln(x2 + 1)的大小=g (x1 x2) g (x1) g (x2)f (x1 x2) g (x1 x2) g (x1) g (x2) 13分3.(山东省东营市胜利一中)已知函数、
4、为实数）有极值，且在处的切线与直线平行. （1）求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由； （3）设令求证：.【解析】， 2分有极值，故方程有两个不等实根由、可得，故实数a的取值范围是 4分 （2）存在 5分 ，+00+极大值极小值， 8分的极小值为1 9分 （3），10分证明：当n=1时，左边=0，右边=0，原式成立 11分 假设当n=k时结论成立，即，当n=k+1时，左边当且仅当x=1时等号成立，即当时原式也成立 13分综上当成立 14分4.（浙江省2010届第一次调研卷）已知函数().(1) 当a = 0时, 求函数的
5、单调递增区间;(2) 若函数在区间0, 2上的最大值为2, 求a的取值范围. 【解析】(1): 当a = 0时, f (x)x34x25x ,0,所以 f (x)的单调递增区间为, . (6分)(2) 解: 一方面由题意, 得 即 ;另一方面当时, f (x) = (2x39x212x4)ax34x25x ,令g(a) = (2x39x212x4)ax34x25x, 则g(a) max g(0), g() = maxx34x25x , (2x39x212x4)x34x25x = maxx34x25x , x2x2 ,f (x) = g(a) maxx34x25x , x2x2 ,又x34x25
6、x=2, x2x2=2, 且f (2)2,所以当时, f (x)在区间0,2上的最大值是2.综上, 所求 a的取值范围是. (14分)5.（无锡一中）已知集合M是满足下列性质的函数的全体：若存在非零常数k，对任意，等式恒成立。（）判断一次函数是否属于集合M；（）证明属于集合M，并找到一个常数k；（）已知函数与的图像有公共点，试证明【解析】（1）若则存在非零常数k，对任意均有即恒成立，得无解，6分（2），则时等式恒成立，5分（3）与有交点，由图象知，与必有交点。设，则5分6.（福建师大二附中）已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 （1）求m、n的值； （2）是否存在最小的正整数
7、k，使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由；【解析】：（1），1分3分（2）令，5分在1，3中，在此区间为增函数时，在此区间为减函数.处取得极大值.7分 ，3时在此区间为增函数，在x=3处取得极大值.8分比较（）和的大小得：9分（无理由最大，扣3分）即存在k=200710分7.(吉林省实验中学)如图，已知曲线从C上的点作x轴的垂线，交轴的垂线，交C于点设，（I）求Q1、Q2的坐标；（II）求数列的通项公式； （III）记数列的前n项和为 【解析】：（I）由题意知 2分 （II） 又4分 6分 （III） 8分 10分 12分8.（四川省绵阳中学)已知函数，数列是公差为d的等差
8、数列，是公比为q（）的等比数列.若 ()求数列，的通项公式； ()若对，恒有，求 的值；()试比较与的大小.【解析】：() ， . 即 ， 解得 d =2. . . 2分 , . , .又， . 4分() 由题设知 ， . 当时, , , 两式相减,得. (适合). 7分 设T=, 两式相减 ,得 . . 9分() , . 现只须比较与的大小. 当n=1时, ； 当n=2时, ； 当n=3时, ； 当n=4时, . 猜想时，. 用数学归纳法证明 (1)当n=2时，左边，右边，成立. (2)假设当n=k时, 不等式成立，即. 当n=k+1时, . 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2）
9、，可知时，都成立. 所以 （当且仅当n1时，等号成立） 所以.即. 14分9.（马鞍山第二中学）已知函数f (x)=。（1）若函数f (x)在1，+）上为增函数，求正实数的取值范围；（2）当=1时，求f (x)在，2上的最大值和最小值。（3）求证：对于大于1的正整数n，。【解析】：（1）f (x)= 依题0在1，+）上恒成立即a在1，+）上恒成立，a1（2）当a=1时，f (x)=，其中x,2， 而x,1)时，f (x)0， x=1是f (x)在，2上唯一的极小值点， f (x)min=f (1)=0又f ()-f (2)=-2ln2=0，f ()f (2)， f (x)max=f ()=1-
10、ln2综上，a=1时，f (x)在，2上的最大值和最小值分别为1-ln2和0（3）若a=1时，由（1）知f (x)=在1，+）上为增函数，当n1时，令x=，则x1，故f (x)f (1)=0，即f ()=+ln=-+ln0，ln10（山东省实验中学）已知函数， （1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明： .【解析】：（1）在上恒成立， 令 ，有 得 4分 得 5分（2）假设存在实数，使（）有最小值3， 6分 当时，在上单调递减，（舍去），当时，在上单调递减，在上单调递增，满足
11、条件. 当时，在上单调递减，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3. 10分（3）令，由（2）知，.令，当时，在上单调递增 即.14分11（2009学年第一学期潍坊五校联合）设函数，其中.（1）若，求的单调递增区间；（2）如果函数在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）求证对任意的,不等式恒成立【解析】:(1)由题意知，的定义域为，时，由，得（舍去），当x时，当时，所以当时，单调递增。5分 (2)由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得10分(3)对于函数，令函数则，所以函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立.取，则有恒成立. 15分12.(山东省烟台市)定义 （1）令函数的图象为曲线c1，曲线c1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线c1的切线，切点为B（n，t）（n0）设曲线c1 在点A
