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1、第二章计算机中的信息表示 数据信息 控制信息 数值型数据 非数值型数据 指令信息等 第一节数值型数据的表示方法 2 1 1进位计数制 复习 要求掌握二进制数 八进制数 十六进制数 十进制数之间的相互转换 数制涉及三个问题 计数符号基数和权计数规则1 计数符号这是用于书写数值的符号 所有计数符号的集合称作数符集 k进制的数符集中必然包含k个符号 比如 二进制的数符集中有两个符号 0和1 八进制的数符集中有8个符号 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制的数符集中有10个符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十六进制的数符集中有16个符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C
2、 D E F 1 进位计数制 一 数制 2 基数和权如果把用k进制书写的一个整数从右往左依次记作第0位 第1位 第n位 则第i位上的数符ai所代表的含义是ai ki 在此 我们把k称为一个数制的基数 而把ki称为k进制数第i位的权 如888 每个8的位权都不相同 3 计数规则简单地说 就是 逢k进1 借1当k 4 数的表示方法任何一种数制表示的数都可以写成按位权展开的多项式之和 N dn 1bn 1 dn 2bn 2 dn 3bn 3 d mb m式中 n 整数的总位数 m 小数的总位数 d下标 表示该位的数码 b 表示进位制的基数 b上标 表示该位的位权 2 计算机中常用的进位计数制计数制基
3、数数符计数规则二进制20 1逢二进一八进制80 1 2 3 4 5 6 7逢八进一十进制100 1 2 3 4 5 6 7 8 9逢十进一十六进制160 1 2 3 4 5 6 7 8 9A B C D E F逢十六进一3 计数制的书写规则 1 在数字后面加写相应的英文字母作为标识 如 二进制数的100可写成100B十六进制数100可写成100H 2 在括号外面加数字下标 如 1011 2表示二进制数的1011 2DF2 16表示十六进制数的2DF2 二 数制之间的转换 十进制 二进制 整数 1 降幂法例 27D B2711331 16842111011 27D 11011B 2 除基取余法
4、27 13 6 3 1 0 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 27D 11011B 例 将十进制小数 0 8125 10转换为二进制小数 采用 乘2顺取整 的方法 过程如下 0 8125 2 1 625取整数位10 625 2 1 25取整数位10 25 2 0 5取整数位00 5 2 1 0取整数位1所以 0 8125 10 0 1101 2如果出现乘积的小数部分一直不为 0 则可以根据精度的要求截取一定的位数即可 十进制 二进制 小数 1 乘基取整法 2 减权定位法例 0 316 10 2减权比较Ki位权0 316 0 502 1 0 50 316 0 25 0 06612 2 0
5、250 066 0 12502 3 0 1250 066 0 0625 0 003512 4 0 0625 故有 0 316 10 0 0101 2 十进制二进制 整数 1 按权相加法例 1011B 1 23 0 22 1 21 1 20 11D2 乘基相加法 1101B 13D 十进制二进制 小数 1 按权相加法例 0 1011 2 1 2 1 0 2 2 1 2 3 1 2 4 0 5 0 0 125 0 0625 0 6875 102 除基相加法例 0 1101B 0 8125D 十六进制十进制按权展开相加法 BF3CH 11 163 15 162 3 161 12 160降幂法或取余法
6、例 399D H1 399143152 16 399 16 24 F25616116 1 8 0 118F 399D 18FH 二进制十六进制0011010110111111 35BF 0011 0101 1011 1111B 35BFHA19C 1010000110011100 一一对应 A19CH 1010 0001 1001 1100B 数制之间的转换方法小结 1 十进制整数转换为二进制整数采用基数2连续去除该十进制整数 直至商等于 0 为止 然后逆序排列余数 2 十进制小数转化为二进制小数连续用基数2去乘以该十进制小数 直至乘积的小数部分等于 0 然后顺序排列每次乘积的整数部分 3 十
7、进制整数转换为八进制整数或十六进制整数采用基数8或基数16连续去除该十进制整数 直至商等于 0 为止 然后逆序排列所得到的余数 4 十进制小数转换为八进制小数或十六进制小数连续用基数8或基数16去乘以该十进制小数 直至乘积的小数部分等于 0 然后顺序排列每次乘积的整数部分 5 二 八 十六进制数转换为十进制数用其各位所对应的系数 按 位权展开求和 的方法就可以得到 其基数分别为2 8 16 6 二进制数转换为八进制数从小数点开始分别向左或向右 将每3位二进制数分成1组 不足3位数的补0 然后将每组用1位八进制数表示即可 7 八进制数转换为二进制数将每位八进制数用3位二进制数表示即可 8 二进制
8、数转换为十六进制数从小数点开始分别向左或向右 将每4位二进制数分成1组 不足4位的补0 然后将每组用一位十六进制数表示即可 9 十六进制数转换为二进制数将每位十六进制数用4位二进制数表示即可 三 编码 计算机中的数采用二进制数 字母 符号等也只能采用二进制代码 0 1 的排列组合表示 编码 两种编码 BCD码 ASCII码 BCD码 8421码 二 十进制数 解决十进制数在计算机内部如何表示 BCD码规定用四位二进制数表示一位十进制数 对多位十进制数 只要把每一位十进制数分别表示为四位二进制数即可 十进制BCD码00000100012001030011401005010160110701118
9、100091001 十进制BCD码2800101000956100101010110 2 1 2带符号数的表示 一 真值与机器数 机器数 在计算机内部 约定数的某一位表示符号 例如用0表示正号 用1表示负号 这种在计算机中使用的 连同符号位一起数码化了的数 称为机器数 真值 正负号加绝对值表示的数值 常用的机器数表示形式有原码 补码和反码 例如 设机器字长为8位 有如下真值的原 补 反码 二 原码表示法原码表示法约定 最高位为符号位 符号位为0表示该数为正 为1表示该数为负 有效数值部分用二进制绝对值表示 1 定点小数设X X0 X1X2 Xn 其中X0表示符号 则X0 X 1 X 原 1 X
10、 1 X 1 X 0例X 0 1011 X 原 0 1011X 0 1011 X 原 1 1011 2 定点整数设X XnXn 1 X0 其中Xn表示符号位 则X0 X 2n X 原 2n X 2n X 2n X 0当X为正时 与X相同 即符号位为0 当X为负时 X 原 2n X 即符号位为1 再加上整数部分的绝对值 例X 1011 则 X 原 01011X 1011 则 X 原 11011 3 讨论 1 在原码表示中 真值0可以有不同的表示形式 可分别称为 0和 0 以小数为例 0 原 0 00 0 0 原 1 00 0 2 对于小数 原码表示范围 1 X 1对于整数 表示范围 2n X 2
11、n 3 符号位不是数值的一部分 是人为的约定 0正1负 在原码运算中需将符号位和有效数值部分分开处理 用原码表示很直观 用原码实现乘除运算也比较方便 但原码加减就比较复杂 它的实际操作要由操作性质 加还是减 和两数符号综合决定 例如3 2 实际上是做加法 三 补码表示法为了克服原码在加减运算中的缺点 引入了补码表示法 并以此作为加 减运算的基础 补码表示法的核心是让符号位也作为数值的一部分直接参加运算 以简化加 减运算的规则 同时又能 化减为加 看一个时钟的例子 现在的准确时间是1 00 该如何拨钟 方法一 反拨10点11 10 1方法二 顺拨2点11 2 13 13 12 1故有 10 2
12、以12为模 称 2是 10对于模12的补数 计算机的部件与寄存器都有一定的字长限制 因此它运算也是一种有模运算 启发 有模运算中 负数可以用以一个与它互补的正数代替 1 补码定义 1 补码的统一定义式数X的补码记作 X 补 设模为M 则定义如下 X 补 M X modM 2 定点小数的补码定义式若定点小数的补码序列为X0 X1X2 Xn 则X0 X 1 X 补 mod2 2 X 2 X 10 2 x 1 X 0即正数的补码与原码相同 负数的补码等于原码数值部分按位求反 末位加1 例若X 0 1011 则 X 补 0 1011例若X 0 1011 则 X 补 1 0101 10 00000 10
13、111 0101 方法一 方法二 X 原 1 1011 X 补 1 1011 1 1 0100 1 1 0101 3 定点整数的补码定义式若定点整数的补码序列为XnXn 1 X0 则X0 X 2n X 补 2n 1 X 2n 1 X 2n X 0即正数的补码与原码相同 负数的补码等于原码数值部分按位求反 末位加1 例若X 1011000 则 X 补 01011000例若X 1011000 则 X 补 10101000 2 由真值 原码转换为补码由真值求补码 先将真值写出原码 再由原码转换为补码 正数的补码与原码相同 例若 X 原 0 1010 则 X 补 0 1010 由负数原码求其补码方法一
14、符号位保持为1不变 其余各位先求反 然后在末位加1 例 X 原 1 1010尾数求反1 0101末位加11 0110 X 补 1 0110 方法二符号位保持为1不变 尾数部分自低位向高位 第一个1及其以前的各低位0都保持不变 以后的各位则按位求反 例 X 原 1 1010 X 补 1 0110 3 由补码表示求原码真值正数的补码与原码相同 不用转换 负数的补码转换为原码可采用上述两种方法之一 例 X 补 1 0110尾数求反1 1001末位加11 1010即X 0 1010例 X 补 1 0110 X 原 1 1010 即X 0 1010 4 讨论补码与原码有以下几点不同 1 补码的符号值是由
15、补码的定义式计算得来的 它是数值的一部分 可以与尾数一起直接参加运算 不需要单独处理 2 在补码表示中 数值0只有一种表示方式 即00 00 补码表示对负数的定义域是 1 X 0 即补码表示可以表示 1 1的补码表示为1 00 00 3 负数补码的表示范围比原码略宽一些 即补码小数可以表示 1 整数补码可表示2n 例2 26定点小数原码中 绝对值最大的负数为1 11 11 真值为 1 2 n 定点小数补码中 绝对值最大的负数为1 00 00 真值为 1 四 反码表示法正数的反码表示与原码相同 负数的反码表示规定为 符号位为1 尾数由原码尾数按位求反 例 若 X 原 0 1010 则 X 反 0
16、 1010若 X 原 1 1010 则 X 反 1 0101 1 定义 X 移 2n X2n X 2n即无论X是正还是负 一律加上2n 2 移码与补码的关系是 真值是正数时 移码是补码的最高位加1 真值是负数时 移码是补码的最高位减1 也就是把补码的符号位变为其反码即可 即若 X 补 XSXn 1Xn 2 X1X0 则 X 移 XSXn 1Xn 2 X1X0例 X 1001 X 补 01001可求得 X 移 11001X 1001 X 补 10111可求得 X 移 00111 五 移码表示法 3 移码有如下性质 1 在移码表示法中 0的移码是唯一的 整数0 0 移 2n 00 0 100 0 0 移 2n 00 0 100 0 2 机器0的形式为00 0 它所表示的真值是 X 移所能表示的数中最小的数 即 X 移 00 0 其对应的真值是X 0 2n 2n 而补码中的最小机器数是0 但0并不是最小真值 2n 3 移码的最高位是符号位 但其表示的意义与原码和补码表示的意义相反 符号为0时 表示负数 符号为1 表示正数 4 移码一般只进行加减运算 运算后需要对结果进行修正 修正量为2n 即
