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1、工程问题工程问题基本数量关系式:(1)一般公式:工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间工作总量 工作时间工作效率(2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式:1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几;一般给出工作时间,就可以知道工作效率为,1单位时间能完成的几分之几=工作时间。如果可以给出工作效率是,就可以知道工作时间为a.一、两个人的问题 标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作? . 例2 一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成
2、,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天? . 例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天? . 例4 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).问开始到完工共用了多少天时间? 例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
3、例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天? . 例7 一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他 要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天? 例8 甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时? 二、多人的工程问题 我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多. 例9 一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙
4、、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成? 例10 一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天? 例11 一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天? 例12 某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作? 例13 制作一批零件,甲车间要10天
5、完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件? . 例14 搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间? 3、 水管问题 从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问
6、题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米? 例16 有一些水管,它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管,经过预定的时间的1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管?例17 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时.要排光
7、一池水,单开乙管需要 4小,丁管需要6小时,现在水池内有六分之一的水,如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池? 例18 一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空? 例19 一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的.打开A管,8小时可将满池水排空,打开C管,12小时可将满池水排空.如果打开A,B两管,4小时可将水排空.问打开B,C两管,要几小时才能将满池水排空? . 例20 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一 草;
8、21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草? “牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅,我们只再举一个例子. 例21 画展9点开门,但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口,9点9分就不再有人排队,如果开5个入场口,9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分? 例22.一件工作,如果甲单独做,那么甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后,剩下的乙单独做,刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作,完成工作需多长时间? 例1答:乙需要做4天可完成全部工作. 解
9、二:9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 (18- 2 3) 3= 4(天). 解三:甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天)例2解:共做了6天后, 原来,甲做 24天,乙做 24天, 现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天. 这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做,所需时间是 如果甲独做,所需时间是 答:甲或乙独做所需时间分别是75天和50天例3解:先对比如下: 甲做63天,乙做28天; 甲做48天,乙做48
10、天. 就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出甲的 甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(天),相当于乙要做 因此,乙还要做 28+28= 56 (天). 答:乙还需要做 56天例4解一:甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是 2+8+ 1= 11(天). 答:从开始到完工共用了11天. 解二:设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作 (30- 3 8- 1 2)(3+1)= 1(天). 解三:甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独
11、做 8天后,还余下(甲队) 10-8= 2(天)工作量.相当于乙队要做23=6(天).乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量. 4=3+1, 其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天. 例5解一:如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答:乙队休息了5天半. 解二:设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是 (3+2)16- 60= 20(份). 因此乙休息天数是 (20- 3 3) 2= 5.5(天). 解三:甲队做2天,相当于乙队做3天. 甲队休
12、息3天,相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是 16-6-4.5=5.5(天). 例6解:很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙. 设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份. 8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-48)份.由张、李合作需要 (60-48)(4+3)=4(天). 8+4=12(天). 答:这两项工作都完成最少需要12天解:设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份. 两人合作,共完成 3 0.8 + 2
13、0.9= 4.2(份). 因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是 (30-38)(4.2-3)=5(天). 很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题.解:乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时,甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答:甲单独完成这件工作需要33小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙每 有一点方便,但好处不大.不必多此一举.解:设这件工作的工作量是1. 甲
14、、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成 答:甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些?解:甲做1天,乙就做3天,丙就做32=6(天). 说明甲做了2天,乙做了23=6(天),丙做26=12(天),三人一共做了 2+6+12=20(天). 答:完成这项工作用了20天. 本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了解:丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2(倍),甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要 答:甲独做需要26天. 事实上