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1、 . 动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察抓住变化中的“不变量”，以不变应万变实验操作【要点导航】通过实验操作观察猜想科学论
2、证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得RtABE，如图2；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3利用展开图4探究：（1）AEF是什么三角形？证明你的结论；（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由图1图2图3图4【思路分析】1图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以
3、BEA=AEB=FEC，它们都是60角，所以AEF是等边三角形2由操作可知AFAD时，不能完整折出这种三角形当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2解（1）AEF是等边三角形由折叠过程可得：因为BCAD，所以所以AEF是等边三角形 （2）不一定当矩形的长恰好等于等边AEF的边AF时，即矩形的宽长ABAF时正好能折出如果设矩形的长为A，宽为B，可知当时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当时，按此法无法折出完整的等边三角形方法点睛要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解ABCM例2 已知：在ABC中，BAC=90，M为BC中点操作：将三角板的90角的顶点与点
4、M重合，并绕着点M旋转，角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F（1）探究1：线段BE、EF、FC是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想思路分析1由点M是BC中点，所以构造绕点M旋转180重合的全等三角形，将线段BE、EF、FC移到同一个三角形中标注三角板为阴影FCG为阴影ABCMEFG2当角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F时，构造和证明的方法不变标注三角板为阴影ABCMEFG图3FCG为阴影FCG为
5、阴影ABCMEFG图2证明（1）线段BE、EF、FC可以构成直角三角形如图1，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为EMB =GMC，EM=MG，所以EMBGMC，所以BE=GC，EM=MG，B=MCG因为FM垂直平分EG，所以FE=FG又因为BAC=90，所以B+ACB=90，所以MCG +ACB=90，即FCG=90，所以，所以标注三角板为阴影（2）如图2，当点F在CA的延长线上时，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为EMB =GMC，EM=EG，所以EMBGMC，所以BE=GC，EM=MG，B=
6、MCG因为FM垂直平分EG，所以FE=FG又因为BAC=90，所以B+ACB=90，所以MCG +ACB=90，即FCG=90，所以，所以如图3，当点F在AC的延长线上时，同理可证方法点睛线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大【星级训练】 第 天 ，年 月 日 1. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FGDE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G（1）操作：由几个不同的位置，分别测量BF、AG、A
7、E的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2）连结DF，如果正方形的边长为2，设AE=，DFG的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果正方形的边长为2，FG的长为，求点C到直线DE的距离DACB供试验操作用GFEDACB2. 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y
8、，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）DACB图7DACB图6DACB图53. 在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2
9、）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点、的
10、位置，并写出他们的坐标： 、 ；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题
11、目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目条件探索【要点导航】 “探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用【典例精析】例1 如图，在线段的同侧作正方形和正方形（），连结并延
12、长交于点，过作，垂足为，交于点设正方形的边长为1（1）证明CMGNBP；（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3）如果按照题设方法作出的四边形是菱形，求BE的长（4）联结PG，若能否成为直角三角形？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由（5）联结AC、AF、CF，求证ACF的面积为定值 思路分析1第（3）小题把四边形是菱形作为条件探索BE的长2中PBG始终是45，而BPG和PGB有可能为90，要分情况讨论3第（5）小题即可用割补法求也可用利用ACBF将ACF的面积转化为ABC的面积证明（1）因为 正方形ABCD，所以 ，同理因为 CD/BE，所以
13、，因为 ，垂足为N，所以 所以 四边形BCMN是矩形所以 ，又 因为 ， ，所以 CMGNBP（2）因为 正方形BEFG，所以 ，所以 从而 ，所以 定义域为：（3）由已知易得 MN/BC，MG/BP所以四边形BGMP是平行四边形要使四边形BGMP是菱形则BG=MG，所以解得所以 时四边形BGMP是菱形 （4）如图2，当PGB90时，BGPGMC，即，解得，所以BE的长为如图3，当GPB90时，BG2MC，即，解得，所以BE的长为图4QHG图3图2（5）如图4：或者，由于，因此所以，或者因为BFAC，所以点B和F到AC的距离相等，即AFC和ABC同底等高，所以方法点睛第（5）小题体现了图形运动中的不变性，正方形的边长虽然改变但是AFC的面积不变ABCDMN图3ABCDMN图1例2 在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、ND为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDDC 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系ABCDMN图2（1）如图1所示，当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是
