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1、1长沙市周南中学 2015 届高三第一次月考试卷数 学（理）考试范围：集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲)立体几何.时量：120 分钟 总分：150 分 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1集合 32,log,MaNb若 1NM,则 （）A , B 03 C 0,23D 0,122命题“ 2,xRx”的否定是（）A B 2,Rx C 2,0xx D 03已知 ()fg分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 321,xx()fg则 ( )A3 B1 C1 D34一个几何体的三视图
2、如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ) A B C D342235同时具有性质：“最小正周期是 ；图象关于直线 3x对称；在 ,6上是增函数”的一个函数是（）A )62sin(xy B )2cos(yC )2sin(y Dco6已知命题 : 是 成立的充分不必要条件；命题 :若不等式p1x q对 恒成立，则 ， 在命题ax21R3a侧侧 侧（第 4 题图）2 pq ()pq ()pq中，真命题是（）A B C D 7若 ，则（ ）120xA B C D2 1lnex2121lnxex122xxe122xx8不等式 2ya0 对于
3、任意 ,x及 3,y恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）A 2 B a 2 C a 1 D 299已知函数 是 R 上的可导函数，且 的图象是连续不断的，当 时，有xf xf 0x，则函数 的零点个数是（）0f xF1A0 B1 C2 D310在平面上， 12A， 2O, 1APB.若 12OP，则O的取值范围是（ ）A 50,2 B 57,2 C 5,2 D7,二填空题：本大题 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11已知 且 ，则 . 41cosin,0sinco12如图，两块阴影部分的面积和为_ 13若关于 的不等式 的解集为 ，则 . x31x
4、a21|xa（第 12 题图）314.已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . zyx, yzx12zxy115在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为 ，naA210（i=1，2，31,0ian） ，传输当中原信息中的 1 都转换成 01，原信息中的 0 都转换成 10，定义这种数字的转换为变换 ，在多次的加密过程中，满足 ，k=1，2，3，T1kkAT（1）若 A2：10010110，则 A0为_ ；（2）若 A0为 10，记 中连续两项都是 l 的数对个数为 ，k=l，2，3，则 .k kl kl三、解答题：本
5、大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 （本小题满分 12 分）在 BC中，三内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且caCbcos（）求角 B的大小；（）求 sin的取值范围17 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，EABCD平面 ， 平面 ，ABCEDBC， 223（）求证：平面 平面 ；AE（）求二面角 的大小BD CBEDA418.（本小题满分 12 分）已知正数数列 的前 项和 满足： .nanSnna2（I）求数列 的通项公式；na（II）设 ，求数列 的前 项和. naan abnn 1211nb219 （本小题满分
6、13 分）如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 1l安装排水管，在路南侧沿直线 2l安装排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线） ，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 1l与2l接通已知 AB = 60m， BC = 60 3m，公路两侧排管费用为每米 1 万元，穿过公路的 EF部分的排管费用为每米 2 万元，设 EF 与 AB 所成角为 矩形区域内的排管费用为 W（I）求 W 关于 的函数关系式；（II）求 W 的最小值及相应的角 FE DCBA l2l1 公公520 （本小题满分 13 分）已知 为正整数， （I
7、）证明：当 时，mn， 1x；xm1（II）对于 ，已知 ，求证： .6n2131n nnkn23121. （本小题满分 13 分）设函数 .Raxxfln1（I）讨论函数 的单调性；()fx（II）若 有两个极值点 ；记过点 的直线斜率为 .问：12,1(,),Af2()Bfxk是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.aka长沙市周南中学 2015 届高三第一次月考参考答案1 ABCAC ACDBD 11 ; 12 ; 13 ; 14. ;024215 解：（1）由变换 T 的定义可知，若 ：10010110 ，则 为 10；2A0A（2）因为 1 转换成 01，0 转
8、换成 10，所以 10 转换成 0110；故考虑 中 10 数对的个数，设 中 10 数对的个数为 ，kAk ka而 中 11 数对只能由 中 10 数对变换得到，1kA所以 ， ，kal12l故考虑 中数对 10 的个数 ，1Aka而 中 10 数对可能由 中 0 得到，也可由 中的 11 得到，kAkA根据变换 T 的定义以及 ，6可得 中 0 和 1 的个数总相等，且有 个，kAk2故 ， ， kla21 kkla12又由 A0：10 变换得到 ：0110， ：10010110，2A所以 ，21l当 k 为奇数时（k3，kN*） ，叠加得 = ，k=1 时也成立，231kkl 31同理，
9、当 k 为偶数数时（k4 ，kN*） ，k=2 时也成立，2421kkl 综上，可得 ，kN*故答案为：(1)10、(2) ，kN*(第一1kkl 21kk空 2 分)三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 （本小题满分 12 分）在 ABC中，三内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且caCbcos（）求角 B的大小；（）求 Ain的取值范围解（）由余弦定理可得： caba222，即 acb22， 12cosacbB，由 ),0(B得 3 （）由 3得，AC， AA 2sin1cosin2)3sin(sin 4)6i(142
10、co1i43A ),0(A， 7,， 162sin1， CAi的取值范围为43,0(17 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平EABCD面 ， 平面 ， ， BEDBE2A23EABCEFDOCBEDA7（）求证：平面 平面 ；ADEB（）求二面角 的大小17解()证明：取 BE 的中点 O，AE 的中点 F，连 OC，OF，DF，则 2OF BA /AB平面 BCE，CD平面 BCE，2CD BA，/OF CD，OCFD /BC=CE，OCBE，又 AB平面 BCE.OC平面 ABE. FD平面 ABE.从而平面 ADE平面 ABE. ()二面角 AEBD 与二面角 FEBD 相
11、等，由()知二面角 FEBD 的平面角为FOD。BC=CE=2, BCE=120 0，OCBE 得 BO=OE= ，OC=1，3OFDC 为正方形，FOD= ，45二面角 AEBD 的大小为 解法 2：取 BE 的中点 O，连 OC.BC=CE, OCBE，又 AB平面BCE. 以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O xyz，则由已知条件有: ， ，0,32A0,3B1,0C,1D0,3,E设平面 ADE 的法向量为 ，1,nxyz则由 nA1,023xyz120.z及 D,1可取 0,3又 AB平面 BCE，ABOC，OC平面 ABE，平面 ABE 的法向量可取为 .m,0 =0, ，平面
12、 ADE平面 ABE. 6 分nm,1,n（）设平面 BDE 的法向量为 ，2,pxyz则由 pED2,1,3xyz 20.及 可取 B0.p1,平面 ABE 的法向量可取为 m,0锐二面角 AEBD 的余弦值为 = ， |p2二面角 AEBD 的大小为 4518.（本小题满分 12 分）已知正数数列 的前 项和 满足： .nanSnna2（I）求数列 的通项公式；na（II）设 ，求数列 的前 项和. naan abnn 1211nb218.解：(I)当 时， ，所以 ,;01S12121aABCEFDOxyz8又, nnaS211两式相减得： ，所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列nna故数列 的通项公式为 6 分naa（II）)由(1)可得 ,记数列 的前 项和为 ,则nbnn 121nb22nTTnkk 243212记 nBAnkk1,211 221211nnkk()34().nB故数列 的前 项和 12 分nb2n12nTAB12n19 （本小题满分 13 分）如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 1l安装排水管，在路南侧沿直线 2l安装排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线） ，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 1l与2l接通已
