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1、1长沙市周南中学 2015 届高三第一次月考试卷数 学(理)考试范围:集合、逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式(含选讲)立体几何.时量:120 分钟 总分:150 分 一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1集合 32,log,MaNb若 1NM,则 ()A , B 03 C 0,23D 0,122命题“ 2,xRx”的否定是()A B 2,Rx C 2,0xx D 03已知 ()fg分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 321,xx()fg则 ( )A3 B1 C1 D34一个几何体的三视图
2、如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( ) A B C D342235同时具有性质:“最小正周期是 ;图象关于直线 3x对称;在 ,6上是增函数”的一个函数是()A )62sin(xy B )2cos(yC )2sin(y Dco6已知命题 : 是 成立的充分不必要条件;命题 :若不等式p1x q对 恒成立,则 , 在命题ax21R3a侧侧 侧(第 4 题图)2 pq ()pq ()pq中,真命题是()A B C D 7若 ,则( )120xA B C D2 1lnex2121lnxex122xxe122xx8不等式 2ya0 对于
3、任意 ,x及 3,y恒成立,则实数 a的取值范围是( )A 2 B a 2 C a 1 D 299已知函数 是 R 上的可导函数,且 的图象是连续不断的,当 时,有xf xf 0x,则函数 的零点个数是()0f xF1A0 B1 C2 D310在平面上, 12A, 2O, 1APB.若 12OP,则O的取值范围是( )A 50,2 B 57,2 C 5,2 D7,二填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11已知 且 ,则 . 41cosin,0sinco12如图,两块阴影部分的面积和为_ 13若关于 的不等式 的解集为 ,则 . x31x
4、a21|xa(第 12 题图)314.已知正实数 满足 ,则 的最小值为 . zyx, yzx12zxy115在当今的信息化社会中,信息安全显得尤为重要,为提高信息在传输中的安全性,通常在原信息中按一定规则对信息加密,设定原信息为 ,naA210(i=1,2,31,0ian) ,传输当中原信息中的 1 都转换成 01,原信息中的 0 都转换成 10,定义这种数字的转换为变换 ,在多次的加密过程中,满足 ,k=1,2,3,T1kkAT(1)若 A2:10010110,则 A0为_ ;(2)若 A0为 10,记 中连续两项都是 l 的数对个数为 ,k=l,2,3,则 .k kl kl三、解答题:本
5、大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16 (本小题满分 12 分)在 BC中,三内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c,且caCbcos()求角 B的大小;()求 sin的取值范围17 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中,EABCD平面 , 平面 ,ABCEDBC, 223()求证:平面 平面 ;AE()求二面角 的大小BD CBEDA418.(本小题满分 12 分)已知正数数列 的前 项和 满足: .nanSnna2(I)求数列 的通项公式;na(II)设 ,求数列 的前 项和. naan abnn 1211nb219 (本小题满分
6、13 分)如图,某自来水公司要在公路两侧安装排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线 1l安装排水管,在路南侧沿直线 2l安装排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线) ,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 1l与2l接通已知 AB = 60m, BC = 60 3m,公路两侧排管费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF部分的排管费用为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成角为 矩形区域内的排管费用为 W(I)求 W 关于 的函数关系式;(II)求 W 的最小值及相应的角 FE DCBA l2l1 公公520 (本小题满分 13 分)已知 为正整数, (I
7、)证明:当 时,mn, 1x;xm1(II)对于 ,已知 ,求证: .6n2131n nnkn23121. (本小题满分 13 分)设函数 .Raxxfln1(I)讨论函数 的单调性;()fx(II)若 有两个极值点 ;记过点 的直线斜率为 .问:12,1(,),Af2()Bfxk是否存在 ,使得 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.aka长沙市周南中学 2015 届高三第一次月考参考答案1 ABCAC ACDBD 11 ; 12 ; 13 ; 14. ;024215 解:(1)由变换 T 的定义可知,若 :10010110 ,则 为 10;2A0A(2)因为 1 转换成 01,0 转
8、换成 10,所以 10 转换成 0110;故考虑 中 10 数对的个数,设 中 10 数对的个数为 ,kAk ka而 中 11 数对只能由 中 10 数对变换得到,1kA所以 , ,kal12l故考虑 中数对 10 的个数 ,1Aka而 中 10 数对可能由 中 0 得到,也可由 中的 11 得到,kAkA根据变换 T 的定义以及 ,6可得 中 0 和 1 的个数总相等,且有 个,kAk2故 , , kla21 kkla12又由 A0:10 变换得到 :0110, :10010110,2A所以 ,21l当 k 为奇数时(k3,kN*) ,叠加得 = ,k=1 时也成立,231kkl 31同理,
9、当 k 为偶数数时(k4 ,kN*) ,k=2 时也成立,2421kkl 综上,可得 ,kN*故答案为:(1)10、(2) ,kN*(第一1kkl 21kk空 2 分)三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16 (本小题满分 12 分)在 ABC中,三内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c,且caCbcos()求角 B的大小;()求 Ain的取值范围解()由余弦定理可得: caba222,即 acb22, 12cosacbB,由 ),0(B得 3 ()由 3得,AC, AA 2sin1cosin2)3sin(sin 4)6i(142
10、co1i43A ),0(A, 7,, 162sin1, CAi的取值范围为43,0(17 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 中, 平EABCD面 , 平面 , , BEDBE2A23EABCEFDOCBEDA7()求证:平面 平面 ;ADEB()求二面角 的大小17解()证明:取 BE 的中点 O,AE 的中点 F,连 OC,OF,DF,则 2OF BA /AB平面 BCE,CD平面 BCE,2CD BA,/OF CD,OCFD /BC=CE,OCBE,又 AB平面 BCE.OC平面 ABE. FD平面 ABE.从而平面 ADE平面 ABE. ()二面角 AEBD 与二面角 FEBD 相
11、等,由()知二面角 FEBD 的平面角为FOD。BC=CE=2, BCE=120 0,OCBE 得 BO=OE= ,OC=1,3OFDC 为正方形,FOD= ,45二面角 AEBD 的大小为 解法 2:取 BE 的中点 O,连 OC.BC=CE, OCBE,又 AB平面BCE. 以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O xyz,则由已知条件有: , ,0,32A0,3B1,0C,1D0,3,E设平面 ADE 的法向量为 ,1,nxyz则由 nA1,023xyz120.z及 D,1可取 0,3又 AB平面 BCE,ABOC,OC平面 ABE,平面 ABE 的法向量可取为 .m,0 =0, ,平面
12、 ADE平面 ABE. 6 分nm,1,n()设平面 BDE 的法向量为 ,2,pxyz则由 pED2,1,3xyz 20.及 可取 B0.p1,平面 ABE 的法向量可取为 m,0锐二面角 AEBD 的余弦值为 = , |p2二面角 AEBD 的大小为 4518.(本小题满分 12 分)已知正数数列 的前 项和 满足: .nanSnna2(I)求数列 的通项公式;na(II)设 ,求数列 的前 项和. naan abnn 1211nb218.解:(I)当 时, ,所以 ,;01S12121aABCEFDOxyz8又, nnaS211两式相减得: ,所以数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列nna故数列 的通项公式为 6 分naa(II))由(1)可得 ,记数列 的前 项和为 ,则nbnn 121nb22nTTnkk 243212记 nBAnkk1,211 221211nnkk()34().nB故数列 的前 项和 12 分nb2n12nTAB12n19 (本小题满分 13 分)如图,某自来水公司要在公路两侧安装排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线 1l安装排水管,在路南侧沿直线 2l安装排水管(假设水管与公路的南,北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线) ,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 1l与2l接通已