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1、专题29 几何变换 阅读与思考 几何变换是指把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换. 1.平移变换如图1，如果把图形上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形后，则由到的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.2.对称变换如图2，将平面图形变换到与它成轴对称的图形，这样的几何变换就叫做关于直线（对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.3.旋转变换 如图3，将平面图形绕这一平面内一定点M旋转一个
2、定角，得到图形，这样的变换叫旋转变换，M叫旋转中心，叫旋转角. 旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l】如图，AOB=，角内有点P，PO=，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则PQR的周长的最小值为_. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求PQR的最小值. 【例2】如图，P是等边ABC的内部一点，APB，BPC，CPA的大小之比是，则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）A. B. C. D.不能确定（全国通讯赛试题） 解题思路：解本例的关键是
3、如何构造以PA，PB，PC为边的三角形，若把PAB，PBC，PCA中的任一个，绕一个顶点旋转，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.【例3】如图，在ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等. 【例4】如图，六边形ABCDEF中，ABDE，BCFE，CDAF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换. 【例5】已知RtABC
4、中，AC=BC，ACB=，MCN=（1） 如图1，当M、N在AB上时，求证：（2） 如图2，将MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题） 解题思路：符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将ACM沿直线CM对折，得DCM. 连DN，只需证DN=BN，MDN=；或将ACM(或BCM)旋转.【例6】如图，DAC=，DBC=，CAB=，ABD=，求DCA的度数. （日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是的倍数，这使我们想到构作正三角形. 能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将ABC向右平移3个单位后得到，则的度数
5、是_. （泰安市中考试题） (第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P是等边ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则APB=_.3.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与轴交于点C. 若，则=_. （武汉市中考试题）4.如图，ABC中，BAC=，ADBC，DB=3，DC=2，则ABC的面积是_.5.如图，P为正方形内一点，若，则APB的度数是（ ）. A. B. C. D. 6.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转，得四边形,下列结论：四边形为菱形；线段的长为. 其中正确的结论有（ ）. A.
6、0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个7. 如图，A，B两个电话机离电话线的距离分别是3米，5米，CD=6米，若由L上一点分别向A，B连电话线，最短为（ ）. A. 11米 B. 10米 C. 9米 D. 8米8. 如图，在ABC中，BAC=，P是ABC内一点，若记，则（ ）. A. B. C. D. 与的大小关系不确定 9. 如图，已知D是ABC中BC边的中点，过D作DEDF，分别交AB于E，交AC于F，求证：.（天津市竞赛试题） 10.如图，ABC，其各边交成六边形DEFGHK，且EFKH，GHDE，FGKD，. 求证：ABC，均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）11.如图，已知AB
7、C中，AB=AC，P，Q分别为AC，AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求PCQ.（北京市竞赛试题）12.如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，. (1) 若是轴上的一个动点，当PAB的周长最短时，求的值；（2）若是轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求的值；（3）设M，N分别为轴，轴上的动点，问：是否存在这样的点和，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题） 13.如图，梯形ABCD中，ADBC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M，EP于P，FQ于Q，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题） 14.如图所示，已知ABC中，AB=BC，在ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM. （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM，且BMDM；（2）如图2中的ADE绕点A逆时针旋转小于的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题） 15.如图，在ABC中，BAC=，ADBC于D，若BD=3，CD=2，求ABC的面积.（山东省竞赛试题）
