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1、第三章正弦稳态电路分析 3 1 1复数 3 1正弦信号的相量表示 在数学中常用A a bi表示复数 其中a为实部 b为虚部 称为虚单位 在电工技术中 为区别于电流的符号 虚单位常用j表示 即 一 复数的概念 当b 0时 a jb就是实数 当b 0时 a jb是虚数 其中a 0且b 0时称为纯虚数 有时把实部记成为Re A 虚部记成为Im A 两个不全是实数的复数之间是不能比较大小的 但若它们的实部与虚部分别相等 我们就说这两个复数相等 复数z a jb 有序实数对 a b 直角坐标系中的点Z a b x y o b a Z a b 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴 实轴 y轴 虚轴
2、数 形 复数平面 简称复平面 一一对应 z a jb 二 复数的图形表示 1 平面上的点表示复数 3 1正弦信号的相量表示 复数z a jb 直角坐标系中的点Z a b 一一对应 平面向量 一一对应 一一对应 x y o b a Z a b z a jb 2 平面向量表示复数 3 1正弦信号的相量表示 2 复数的辐角 表示复数z的向量 的长度称为复数z的模 记作 或r 1 复数的模 以正实轴为始边 以表示复数z的向量 为终边所成的角 记作 称为复数z的辐角 3 复数的辐角主值 复数z的辐角并不唯一 属于 的辐角称为复数z的辐角 主值 记作 3 1正弦信号的相量表示 3 复数的四种表示形式 设Z
3、为复数 式中 2 三角式 由欧拉公式 可得 3 1正弦信号的相量表示 3 指数式 写出复数70 7 j70 7的三角函数式 指数式和极坐标式 例1 解 三角函数式 指数式 极坐标式 3 1正弦信号的相量表示 例2 写出复数A1 4 j3 A2 3 j4的极坐标形式 解 A1的模辐角则A1的极坐标形式为A1 5 36 9 在第四象限 辐角 在第二象限 则A2的极坐标形式为 A2的模 3 1正弦信号的相量表示 若两个复数相加减 可用直角坐标式进行 如 A1 a1 jb1A2 a2 jb2则A1 A2 a1 jb1 a2 jb2 a1 a2 j b1 b2 即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部
4、分别相加减 1 复数的加减 复数与复平面上的有向线段 矢量 对应 复数的加减与表示复数的有向线段 矢量 的加减相对应 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算 4 复数的四则运算 3 1正弦信号的相量表示 例3 求复数 与 之和 解 例4 求复数 解 3 1正弦信号的相量表示 2 复数的乘除两个复数进行乘除运算时 可将其化为指数式或极坐标式来进行 如 即使原矢量顺时针旋转了 角 就是矢量A3比矢量A1滞后了角 当 3 1正弦信号的相量表示 因此任意一个相量乘上 j后 即逆时针 向前 旋转了90 乘上 j后 即顺时针 向后 旋转了90 所以j称为旋转90 的旋转因子 例5 求复数A 8
5、j6 B 6 j8之和A B 积A B及A B 解 A B 8 j6 6 j8 14 j2 A B 8 j6 6 j8 10 36 9 10 53 1 100 16 2 3 1正弦信号的相量表示 前两章所讨论的电路都是直流电路 其中的电流和电压的大小和方向都是不随时间变化的 在电路中常见到随时间变化的电压和电流 如下图 b c 所示 b c a 交流电 大小和方向随时间作周期性变化的电压和电流 3 1 2正弦信号 一 正弦交流电的基本概念 3 1正弦信号的相量表示 正弦交流电 随时间按正弦规律作周期性变化的交流电 正弦交流电的优越性 容易产生 利用变压器便于传输 分配和使用 易于变换 交流电机
6、结构简单 工作可靠 成本低廉 维护方便 容易计算测量 正半周 负半周 3 1正弦信号的相量表示 设正弦交流电流 幅值 角频率 初相位成为正弦量的三要素 正弦量 随时间按正弦规律变动的电压 电流等物理量 二 正弦交流电的三要素 3 1正弦信号的相量表示 周期T 变化一周所需要的时间 s 频率f 1s内变化的周数 Hz 角频率 正弦量1s内变化的弧度数 1 周期与频率 变化快慢 2 f O 3 1正弦信号的相量表示 常见的频率值 有线通信频率 300 5000Hz 无线通讯频率 30kHz 3 104MHz高频加热设备频率 200kHz 300kHz 中国和欧洲国家50Hz 美国 日本60Hz 各
7、国电网频率 3 1正弦信号的相量表示 如果热效应相当Wd Wa则I是i的有效值 正弦电量的有效值 e i uEm Im UmE I U 瞬时值最大值有效值 2 幅值 最大值 与有效值 变化大小 3 1正弦信号的相量表示 i 10sin 1000t 30 Au 311sin 314t 60 V 相位 t 初相位 i 30 u 60 相位差 同频率的正弦电量的初相位之差 i 100sin 314t 30 Au 311sin 314t 60 V u i 60O 30 90 相位 初相位 3 相位 初相位与相位差 变化进程 3 1正弦信号的相量表示 0 u与i同相位 0 180 u超前于i 180 0
8、 u滞后于i 180 u与i反相 相位相反 返回 3 1正弦信号的相量表示 不同频率的正弦量比较无意义 两同频率的正弦量之间的相位差为常数 与计时的选择起点无关 3 1正弦信号的相量表示 注意 例1 在选定的参考方向下 已知两正弦量的解析式为u 200sin 1000t 200 V i 5sin 314t 30 A 试求两个正弦量的三要素 解 1 u 200sin 1000t 200 200sin 1000t 160 V所以电压的振幅值Um 200V 角频率 1000rad s 初相 u 160 2 i 5sin 314t 30 5sin 314t 30 180 5sin 314t 150 A
9、所以电流的振幅值Im 5A 角频率 314rad s 初相 i 150 3 1正弦信号的相量表示 例2 计算下列两正弦量的相位差 解 不能比较相位差 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率 同函数 同符号 且在主值范围比较 结论 3 1正弦信号的相量表示 例3 求两个正弦电流i1 t 14 1sin t 120 A i2 t 7 05cos t 60 A的相位差 12 解 把i1和i2写成标准的解析式 求出二者的初相 再求出相位差 3 1正弦信号的相量表示 为什么要引入相量 两个正弦量 i1 i2 i3 无论是波形图逐点相加 或用三角函数做都很繁 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量 所以 只要
10、确定初相和有效值 或振幅 就行了 复数包含一个模和一个幅角 因此 可以把正弦量与复数对应起来 以复数计算来代替正弦量的计算 使计算变得较简单 角频率 有效值 初相位 i1 i2 i3 求i3 i1 i2 3 1 3正弦信号的相量表示 3 1正弦信号的相量表示 设正弦量 电流的有效值相量 3 1正弦信号的相量表示 相量只是表示正弦量 而不等于正弦量 只有正弦量才能用相量表示 非正弦量不能用相量表示 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 注意 3 1正弦信号的相量表示 相量的书写方式 模用最大值表示 则用符号 相量的两种表示形式 相量图 把相量表示在复平面的图形 实际应用中 模多采用有效值 符号
11、 可不画坐标轴 3 1正弦信号的相量表示 正误判断 1 已知 有效值 3 已知 复数 瞬时值 j45 最大值 负号 3 1正弦信号的相量表示 例1 已知 试用相量表示i u 解 例2 试写出电流的瞬时值表达式 解 3 1正弦信号的相量表示 解 1 相量式 2 相量图 例3 将u1 u2用相量表示 并判断二者相位关系 3 1正弦信号的相量表示 例4 若已知i1 I1msin t 1 100sin t 45 A i2 I2msin t 2 60sin t 30 A 求i i1 i2 解 正弦电量 时间函数 所求正弦量 变换 相量 复数 相量结果 反变换 相量运算 复数运算 于是得 正弦电量的运算可
12、按下列步骤进行 首先把 3 1正弦信号的相量表示 例5 已知 有效值I 16 8A 求 解 上一页 下一页 3 1正弦信号的相量表示 例6 已知 求总电流i i1 i2的瞬时值 解 方法一 i1 i2的有效值相量分别为 3 1正弦信号的相量表示 方法二 i1 i2的相量图如图所示 用平行四边行法则求得 3 1正弦信号的相量表示 例7 正弦电压 试求u1 u2与u1 u2 解 1 根据正弦电压瞬时值 依次画出与的相量 如图所示 2 按平行四边形法则求合成相量 3 1正弦信号的相量表示 由图上可看出超前 且Um 311由图上可看出落后 且 311所以由此可见 相量图可以直观地显示各相量之间地关系
13、并可用来辅助电路地分析计算 在相量图上 除了按比例反映各相量的模以外 最重要的是根据各相量的相位相对地确定各相量在图上地位置 3 1正弦信号的相量表示 2 线性性质 k1i1 k2i2 若i1 Im1cos wt fi1 i2 Im2cos wt fi2 则i i1 i2 Im Im1 Im2 Im1 Im1 fi1 Im2 Im2 fi2 相量也具有比例性质 由叠加性质和比例性质可知 这是叠加性质 ki1 Im1 k k1 I1 k2 I2 相量运算规则 1 唯一性 两个同频率正弦量相等的充要条件是代表这两个正弦量的相量相等 即对于所有的时间t 充要条件为 两个同频率正弦量相等的充要条件是代
14、表这两个正弦量的相量相等 即对于所有的时间t 充要条件为 3 1正弦信号的相量表示 3 微分性质 设i Imcos wt fi di dt wImcos wt fi 90o Re w Re jw Im ejwt jw nIm e Im Im fi 正弦量的微分是一个同频正弦量 时域内的一次 其结果是模变为wIm 相位比原相量超前90o 对高阶导数有 Im jw wIm fi 90o 微分 对应于相量域内乘以jw 3 1正弦信号的相量表示 设 大小关系 相位关系 u i相位相同 根据欧姆定律 频率相同 相位差 1 电阻元件 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 3 2 1基本元件伏安特
15、性的相量形式 基本关系式 频率相同 U I L 电压超前电流90 相位差 2 电感元件 设 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 或 则 感抗 电感L具有通直阻交的作用 定义 有效值 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 感抗XL是频率的函数 可得相量式 电感电路复数形式的欧姆定律 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 电流与电压的变化率成正比 基本关系式 频率相同 I U C 电流超前电压90 相位差 则 3 电容元件 设 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 或 则 容抗 定义 有效值 所以电容C具有隔直通交的作用 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定
16、律的相量形式 容抗XC是频率的函数 可得相量式 则 电容电路中复数形式的欧姆定律 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 指出下列各式中哪些是对的 哪些是错的 在电感电路中 练习 在电阻电路中 在电容电路中 上一页 下一页 返回 下一节 上一节 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 解 由线圈两端电压的解析式 可以得到 因此通过线圈的电流瞬时值表达式为 例1 把一个电感量为0 35H的线圈 接到 的电源上 求线圈中电流瞬时值表达式 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 例2 把电容量为40 F的电容器接到交流电源上 通过电容器的电流为 试求电容器两端的电压瞬时值表达式 解 由通过电容器的电流解析式 可以得到 电容器两端电压瞬时表达式为 则 电容器的容抗为 3 2基本元件伏安特性和基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律KCL的相量形式 基尔霍夫电流定律方程的时域形式为 即 在电路中 任意时刻流进 或流出 节点电流的代数和等于零 当方程中各电流均为同频率的正弦量时 根据相量的惟一性和线性性质 可得基尔霍夫电流定律方程的相量形式为 3 2 2基尔霍夫定律的相量形
