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1、第1章 数字逻辑基础,习题与思考题,1.1 数字信号与数字电路,1.2 数制和码制,1.3 逻辑代数,1.4 逻辑函数及其表示方法,1.5 逻辑函数的化简,1.1 数字信号与数字电路,1.1.1 数字信号,1.物理量分类数字量：离散量，存在最小数量单位，整数倍。模拟量：连续量，不存在此最小量，往往具有物理单位。,2. 信号分类模拟信号： (时间和数值上)连续变化的电信号，如正弦信号。数字信号：离散的电信号，如矩形信号。 数字信号两种状态用高电平和低电平表示（1和0）， 高、低电平指一个电压范围，如2V 5V，0 0.8V,信号状态的可数性,4. 数字电路 VS 模拟电路数字电路(信号)的特点：
2、1）信号简单，便于传输、处理和存储，并且抗干扰能力强;2）逻辑运算能力(智能化, 人性化);3）数字电路易于集成，等等优点。,烽火,3. 信号与量(信息)之间的关系？,模拟量既可以用数字信号表示，也可以用模拟信号表示。反之亦然！,1.2.1 数制计数规则、进制,1. N为模； 2. ki为0到N-1的整数(共N个)，称为基本数字符号(状态)； 3.计数过程中逢N(向权高位)进一，Ni 称为各位的权； 称N进制。,如：十进制，二进制，十六进制，等等,1.2 数制和码制（数码）,表1.1.1 几种常用的BCD（Binary Coded Decimal）编码,1.2.2 码制编码规则、代码,用来表示
3、事物或状态。编码和译码(解码)。,1.3 逻辑代数,1849年英国数学家乔治.布尔(George Boole)首先提出，用来描述客观事物逻辑关系的数学方法称为布尔代数。,布尔代数广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开关代数或逻辑代数(布尔代数的子集)，处理二值逻辑问题。,逻辑代数中用字母表示变量逻辑变量，每个逻辑变量的取值只有两种可能0和1。它们也是逻辑代数中仅有的两个常量(二值逻辑)。0和1只表示两种不同的逻辑状态。,本章重点：逻辑关系的数学表示方式；逻辑运算规则；用公式和卡诺图化简逻辑函数运算的过程。,80%,逻辑关系/因果关系：因为1+1，所以等于2,在逻辑关系/因果关
4、系中1+1=1,1.3.1 逻辑代数中3种基本运算,三种基本运算是：与、或、非（反）,1.与运算(AND),该图代表的与逻辑关系是：决定事件的全部条件都满足时，事件才会发生,Y=AB =AB =A and B = A & B,（正）逻辑赋值/状态赋值用1表示开关接通/闭合用1表示灯亮,真值表-True table,2.或运算(OR),该图代表的或逻辑关系是：决定事件的全部条件只要有一个满足时，事件就会发生,Y = A+B = A or B,3.非逻辑(NOT),该图代表的非逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事件反而不发生,4*. 逻辑关系总结,串：串行/串联并：并行/并联,用两个以上基本运算构
5、成的逻辑运算。包括与非(NAND)、或非(NOR)、与或非(AND-OR-NOT)、异或(XOR)和同或(XNOR)运算。,1.3.2 一些常用的复合逻辑运算,与或非逻辑:,异或逻辑:,同或逻辑:,1.3.3 逻辑代数的基本公式,基本公式和定律,公式（16）分配律证明（真值表法/穷举法）,A + B C = (A +B)(A +C),A,A + B,AB,与=交“” Y = A B 或=并“” Y = A + B非=补 “” Y = A,逻辑关系与集合概念的对应,A,1.3.4 逻辑代数的常用公式,1.3.5 逻辑代数的基本定理,应用举例：用B+C来代替等式中的B 式（17） (A+B) =
6、AB,1. 代入定理,定理：在任何一个包含逻辑变量A的等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式关系仍然成立。,(A+B+C) = A ( B+C) =ABC,2. 反演定理,应用: (1)求反函数即YY或(2)去掉多个变量上的非号(大非号),+ ，10， AA 三步互换运算,Y=A(B+C)+(CD),Y=(A+BC)(C+D),=(A+BC)CD= ACD,要求运算前后对应变量运算顺序一致！否则，错！,典型例子：摩根定理,代入定理,3. 对偶定理,例如： A(B+C) = AB+AC A+BC=(A+B)(A+C),定义:对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的”+”和”互换，0和
7、1互换，得到的结果就是Y的对偶式，记做YD ，它们互为对偶式。,对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,对偶运算要求运算前后对应变量运算顺序一致！,1.4 逻辑函数及其表示方法,事物间的因果关系是一种逻辑关系，也是函数关系，所以称为逻辑函数，具体说是二值逻辑函数。,如三人投票电路的例子：要求投票结果和多数人意见相同。当两个人或三个人都同意时，结果有效。三个人分别用A、B、C表示，结果用Y表示。Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：,Y=AB+AC+BC,1.4.1 逻辑函数,Y=AB+AC+BC+ABC,常用的有五种：真值表；逻辑函数式；逻辑图；波形图；卡诺图。,1.真值表,三人投票电路
8、的真值表：,左侧是输入变量的所有取值组合，右侧是输出变量对应数值是逻辑函数值。,当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。,特点：描述逻辑问题直观；但较繁琐。,1.4.2 逻辑函数的表示方法,2.函数式,三人投票的函数式：Y=AB+AC+BC,特点：简洁；便于运算、化简和画逻辑图； 不便从逻辑问题直接得到（不直观）。,3.逻辑(电路)图,三人投票函数的逻辑图：,与门(电路),4.(时序)波形图高、低电平表示的变量取值按时间顺序排列起来画成时间波形。主要用于描述时序逻辑。,真值表,函数式,逻辑图,波形图,1.4.3 各种表示方法间的相互转换,在黑板上做例1-11到1-13 P201）真值表表达式Y
9、 (原函数)2）真值表表达式Y(反函数)3）表达式真值表4）表达式逻辑图5）逻辑图表达式,三人投票逻辑,1.5 逻辑函数的化简,1.5.1 逻辑函数的最简形式,逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式等等。,与或式使用最多，因此我们只讨论与或式的最简标准：,与项/乘积项数量最少；在满足1项的前提下，每个与项包含的变量个数最少。,AB+AC 与或式=(AB) (AC) 与非与非式=A(B+C)= (A+0)(B+C) 或与式=(A+(B+C) 或非或非式=(A+BC) =(A.1+BC) 与或非式,与门，或门与非门或门，与门或非门与或非门,1.5.2 公式法化简,常用公式,3. Y=A
10、BC+AC+B C,=ABC+(AB) C,=C,1. Y=AB+A(C+D)B,=AB,2. Y=AC+AD+ CD,=AC+(AC) D,=AC+ D,4. Y=AC+AD+(C+D),=AC+AD+CD,=AC+CD,5. Y=AB+AB+ BC+BC,=AB+AB+BC +BC,+ AC,=AB+BC +AC,或Y=AB+AB+BC+BC,+ AC,=AB+BC +AC,化简结果不一定是唯一的！,1. A + AB = A + B,2. AB+AC+BC = AB+AC,常用公式,函数式中的任一与项都可重复使用，因为AAA,=AB+BC,=ABC+ABC+ABC+ABC,6.Y=ABC
11、+ABC+ABC,7. Y=(AB) C+CD) A,=(ABC+ABD+CD) .A,=ACD,Y=AC+BC+BD+CD+A(B+C)+ABCD+ABDE,(BC),=BC+BD+A,如果有多层非号嵌套时，往往从外层非号，根据代入和反演定理去掉非号；灵活运用。,8.,1. A + AB = A + B,2. A B+AC+BC = AB+AC,1) 最小项,此时AB、A都不是 最小项,m: min-term,1.5.3 逻辑函数的卡诺图化简法,1.逻辑函数最小项及最小项表示方法,2)最小项的性质：,（1）仅有一组取值组合对应最小项的值为1；,（2）全体最小项之和恒为1；,（3）任意两个最小
12、项之积恒为0；,（4）两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一对因子.,两个具有相同变量数量的乘积项(包括最小项)只有一个变量互为反变量形式，其他相同，则可以称它们是逻辑相邻的。,例：ABC和ABC是逻辑相邻的最小项，相加时会消去变量C 即,ABC+ABC=AB,卡诺图就是利用最小项的这一性质化简逻辑函数的。,标准与或式指最小项之和的表示形式。真值表求出逻辑函数的标准与或式。,ABC.ABC=0,以三人投票逻辑为例。Y=1对应m3、 m5、m6、m7四个最小项，故有：,Y= ABC+ABC + ABC + ABC,简写成,Y= m3+m5+m6+m7,或写成,将非标准形式化成标准形式规律
13、：,Y1=AB= AB(C+C) =ABC+ABC,Y2=A=A(B+B)(C+C),=ABC+ABC+ABC+ABC,少1个变量，化成2个最小项之和,少2个变量，化成4个最小项之和,少n个变量，化成2n个最小项之和,3)逻辑函数的最小项之和(SOP)标准形式,标准与或式指最小项之和的表示形式。,补充：最大项以及最大项之积(POS)的标准形式,2.逻辑函数的卡诺图表示法,1)表示最小项的卡诺图,几何/位置相邻=逻辑相邻,卡诺图是用来化简逻辑函数的。由英国工程师Karnaugh首先提出的，也称卡诺图为K图。,1.5.3 逻辑函数的卡诺图化简法,更多变量K图参考:http:/ 0。,0,0,1,0
14、,0,1,1,1,1,1,1,1,2.用卡诺图表示逻辑函数,显然，只要在每个小方格里填上函数值（0或1）即可。,1)当已知最小项标准形式时，与1中情况相同。如:Y = m3+m5+m6+m7,2)当已知一般与或式时，可将其化成最小项标准形式。如：,Y=AB+AC+BC =AB(C+C)+AC(B+B)+BC (A+A) =ABC+ABC+ABC+ABC,=ABC+ABC+ABC+ABC,也可直接将每个与项填进卡诺图：,与项AB填入A、B都等于1的方格,即6号和7号最小项。,少1个变量的与项，在卡诺图上占2个相邻的小方格。,(2)已知函数式,1,1,1,1,我们在四变量卡诺图上作进一步研究。,1,1,1,1,与项AB少两个变量，用AB(C+C)(D+D)方法可得，它包含4个最小项，编号是12，13，14，15，它们组成一个矩形。,与项A少3个变量，用A(B+B)(C+C)(D+D)方法可得，它包含8个最小项，编号是8，9，10，11，12，13，14，15，它们组成一个矩形。,结论:与项少n个变量，在卡诺图上占2n个的小方格，且组成矩形！,其相反的过程不就是“化简”吗？！,相邻的原则：以红或蓝色边为对称轴，折叠表格；能够重叠，且重叠的最小项/方格的个数为2的n次幂，那么它们是相邻的；可化简成一个与项。并且，可以多次折叠！,
