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1、专题12 向量与圆锥曲线高考在考什么【考题回放】1点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（C）（A） （B） （C） （D）3设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ D ）A BC D4已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（
2、B ）（A）（B）（C）（D）5若曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 6已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和DABC的面积S。【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为设，由方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点，将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为，到的距离为 的面积.高考要考什么【考点透视】
3、近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。【热点透析】向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲
4、线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。突破重难点【范例1】设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）（1）求直线AB方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？解析：（1）法一：显然AB斜率存在。 设AB：y-2=k(x-1) 由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当0时，设A（x1,y1），B（x2,y2），则 k=1，满足0 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1 代入得0.（2）
5、设A、B、C、D共圆于M，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得A（-1，0），B（3，4）. 又CD方程：y=-x+3由得x2+6x-11=0. 设C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD中点M( x0,y0) 则 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|= 又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差
6、法时，必须检验条件0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。【文】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y22x相交于A、B两点（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与
7、抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中，由得 又 ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点
8、(3,0).【范例2】已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=|.求点P(x,y)的轨迹. 解：法一：，化简得，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以为准线的抛物线法二：则表示在轴上的投影，即点到的距离，设F1 (-,0)，F2(,0)，所以点P到定点F2的距离与到定直线的距离相等，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以为准线的抛物线。【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两种常用转化方法，应熟练掌握。【文】已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1)
9、 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。解：(1) =,=,且|+|=4.点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为(2)设A(x1，y1),B(x2，y2)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =因此，当时，即m=时，【范例3】已知点A(，0)，B(，0)动点P满足(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.解：（1）设P(x，y)，则有 得 （2）由 得Q
10、 (0，) 设直线C的方程为y=kx-代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2设M(x1，y1) N(x2，y2) 又= 点Q在以MN为直径的圆上.【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的有力工具。【文】如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；解：依题意，可设直线AB的方程为代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、则、x2是方程的两根. 所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从
11、而. 所以 【范例4】已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点，点C坐标为（0，2p）（1）求证：A,B,C三点共线； （2）若（）且试求点M的轨迹方程。（1）证明：设，由得，又，即A,B,C三点共线。（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。【点晴】两个向量的平行（共线）与垂直的充要条件在解析几何中有重要应用。在解题时尤其要注意几何位置向量表达式坐标表示之间的转化。【文】已知双曲线M：x2y2=1，直线l与双曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、双
12、曲线M、直线y=x于A、B、C、D 四点，O为坐标原点(1) 若，求AOD的面积；(2) 若BOC的面积等于AOD面积的，求证：ABCDOxyl解：（1）设得显然, 即.设的两个根，有 设由。 , 所以。所以 , 整理，得 ., （2）设, , , .又, 自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a,bR，且a+b=1，则点C的轨迹方程为( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C
13、 )A椭圆B双曲线C线段D射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C )4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）. A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|-|=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为_.( ).6已知A、B为抛物线x2=2py (p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点K，使得；存在实数l使得 ；若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为_7已知圆x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；当l斜率存在时，设l：y=kx+b与O相切，设切点为M，则|OM|=1 b2=k2+1 由得(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0当k1且0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0）， y0=kx0+b= M在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2
