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1、集合结构图 集合 集合含义与表示 集合间关系 集合基本运算 列举法 描述法 图示法 子集 真子集 补集 并集 交集 1 确定性 集合中的元素必须是确定的 1 集合中元素的性质 2 互异性 一个给定的集合中的元素是互不相同的 3 无序性 集合中的元素是没有先后顺序的 自然数集 非负整数集 记作N 正整数集 记作N 或N 整数集 记作Z 有理数集 记作Q 实数集 记作R 2 常用的数集及其记法 含0 不含0 ex1 集合A 1 0 x 且x2 A 则x 1 子集 真子集个数 一般地 集合A含有n个元素 A的非空真子集个 则A的子集共有个 A的真子集共有个 A的非空子集个 2n 2n 1 2n 1
2、2n 2 4 并集 5 交集 6 全集 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么就称这个集合为全集 7 补集 类比并集的相关性质 并集的性质交集的性质 知识结构 概念 三要素 图象 性质 指数函数 应用 大小比较 方程解的个数 不等式的解 实际应用 对数函数 第二章 函数的概念 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 A B是两个非空的集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的每一个元素x 在集合B中都有唯一的元素y和它对应 这样的对应叫做从A到B的一个函数 函数的定义域 使函数有意义的x的取值范围 求定义域的主要依据 1 分式的分母不为零 2 偶次方根的被开方数不小于零
3、3 零次幂的底数不为零 4 对数函数的真数大于零 5 指 对数函数的底数大于零且不为1 6 实际问题中函数的定义域例如 一个函数的三要素为 定义域 对应关系和值域 值域是由对应法则和定义域决定的 判断两个函数相等的方法 1 定义域是否相等 定义域不同的函数 不是相等的函数 2 对应法则是否一致 对应关系不同 两个函数也不同 例 下列函数中哪个与函数y x相等 1 已知函数f x x 2 x 1 x2 1 x 2 2x x 2 若f x 3 则x的值是 A 1 B 1或 C 1 D D 函数的性质 单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1
4、 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 3 定义法 证明函数单调性的步骤 简单函数的单调性 1 一次函数y kx b2 二次函数y ax 2 bx c3 反比例函数y k x4 指数函数y a x5 对数函数y logax6 幂函数y x a 证明 设x1 x2 0 且x1 x2 则 f x 在定义域上是减函数吗 减函数 例1 判断函数f x 1 x在区间 0 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 若二次函
5、数在区间上单调递增 求a的取值范围 解 二次函数的对称轴为 由图象可知只要 即即可 练习 已知函数y x2 x 1 作出函数的草图 2 写出函数的单调区间 由图知 此函数的单调递增区间为 单调递减区间为 单调性的应用 一 函数的奇偶性定义 前提条件 定义域关于数 原点 对称 1 奇函数f x f x 或f x f x 0 2 偶函数f x f x 或f x f x 0 二 奇函数 偶函数的图象特点 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 2 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 奇函数里的定值 如果奇函数y f x 的定义域内有0 则f 0 0 如果函数的定义域不关于原点对称 则此函数既不是奇函数
6、 又不是偶函数 奇函数关于原点对称的两个区间上的单调性一致 偶函数则相反 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 确定f x 与f x 的关系 作出相应结论 若f x f x 则f x 是偶函数若f x f x 则f x 是奇函数 已知f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 的解析式 并画出此函数f x 的图象 解 f x 是奇函数 f x f x 即f x f x 当x 0时 f x x2 2x 当x 0时 f x f x x 2 2 x x2 2x 例题 基本初等函数 ar as ar s a 0 r s Q
7、ar s ars a 0 r s Q ab r arbr a 0 b 0 r Q 指数幂的运算 7 18 1 对数的运算性质 2 3 如果a 0 a 1 M 0 N 0有 指数函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 1 0 a 1 R y x o 1 y x o 1 对数函数 1 定义域 2 值域 3 图象 a 1 0 a 1 R 1 1 指数函数与对数函数 在R上是增函数 在R上是减函数 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 1 0 0 1 单调性相同 指数函数与对数函数 B 总结 在第一象限 越靠近y轴 底数就越大 指数函数与对数函数 若图象C1 C2 C3 C4对应y logax y
8、 logbx y logcx y logdx 则 A 0 a b 1 c dB 0 b a 1 d cC 0 d c 1 b aD 0 c d 1 a b D 规律 在x轴上方图象自左向右底数越来越大 在同一平面直角坐标系内作出幂函数y x y x2 y x3 y x1 2 y x 1的图象 1 图象都过 0 0 点和 1 1 点 2 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 即在 0 上是增函数 1 图象都过 1 1 点 2 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 即在 0 上是减函数 3 在第一象限 图象向上与y轴无限接近 向右与x轴无限接近 三 幂函数的性质 所有的幂函数在 0 都有定义 并且
9、函数图象都通过点 1 1 幂函数的定义域 奇偶性 单调性 因函数式中 的不同而各异 如果 0 则幂函数在 0 上为减函数 3 如果 0 则幂函数在 0 上为增函数 2 当 为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 第三章函数与方程 若f x 是单调函数 函数与方程 函数在区间 a b 上有零点 则f a f b 0 函数在区间 a b 上有f a f b 0 则在区间 a b 上有零点 如何判断函数零点的个数如何判断零点所在的区间 二分法的步骤 例 关于x的方程x2 k 1 x 2k 0的两根异号 则实数k的取值范围是 解 令f x x2 k 1 x 2k 0 由图可知 f 0 0 例 已知方程 m x2 mx 至少有一个正根 求实数m的范围 解 若m 方程为x x 符合条件 若m 设f x m x2 mx f 方程f x 无零根 如方程有异号两实根 则x1x2 m m 由此得 实数m的范围是m 实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解 答 求解数学应用问题的思路和方法 我们可以用示意图表示为 数学模型 函数模型及其应用
