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1、1 2013 东北师大附中高考第二轮复习 专题三 三角函数 下 例题解析 例 1 完成下列选择题 1 已知 sin sin 那么下列命题成立的是 A 若 是第一象限角 则cos cos B 若 是第二象限 则tan tan C 若 是第三象限角 则cos cos D 若 是第四象限角 则tan tan 3 函数 y sin 2x 3 的图象是由函数y sin2x 的图像 A 向左平移 3 单位B 向右平移 6 单位 C 向左平移 6 5 单位D 向右平移 6 5 单位 解析 1 当 0 2 时 由 sin sin 得 此时 cos sin 得 此时 tan sin 得 此时 cos sin s
2、in 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 2 cos 1 2 cos 1 tan 2 tan2 tan 0 tan tan 故答案选D 3 y sin2x图像向左平移 3 单位后得 y sin2 x 3 sin 2x 3 2 y sin2x图 像 向右平移 6 单位后得y sin2 x 6 sin 2x 3 y sin2x图象向左平移 6 5 单位 后得 y sin2 x 6 5 sin 2x 3 5 sin 2x 3 y sin2x图像向右平移 6 5 单位后得 y sin2 x 6 5 sin 2x 3 5 sin 2x 3 故答案选D 例 2 已知函数f x tan 3 sinx
3、 1 求 f x 的定义域和值域 2 2 在 中 求f x 的单调区间 3 判定方程f x tan 3 2 在区间 上解的个数 解 1 1 sinx 1 3 3 sinx 3 又函数y tanx 在 x k 2 k Z 处无定义 且 2 2 3 3 令 3 sinx 2 则 sinx 2 3 解之得 x k 3 k Z f x 的定义域是A x x R 且 x k 3 k Z tanx 在 2 2 内的值域为 而当 x A时 函数 y 13 sinx 的值域 B满足 2 2 B f x 的值域是 2 由 f x 的定义域知 f x 在 0 中的 x 3 和 x 3 2 处无定义 设 t 3 s
4、inx 则当 x 0 3 3 3 2 3 2 时 t 0 2 2 3 且以t 为自变量的函数y tant在区间 0 2 2 3 上分别单调 递增 又 当 x 0 3 时 函数t 3 sinx 单调递增 且t 0 2 3 当 x 3 2 时 函数t 3 sinx 单调递增 且t 2 3 当 x 2 3 2 时 函数t 3 sinx 单调递减 且t 2 3 当 x 3 2 时 函数t 3 sinx 单调递减 且t 0 2 f x tan 13 sinx 在区间 0 3 3 2 上分别是单调递增函数 在 3 2 3 2 2 上是单调递减函数 又 f x 是奇函数 所以区间 3 0 2 3 也是 f
5、x 的单调递增区间 2 3 2 3 2 是 f x 的递减区间 故在区间 中 f x 的单调递增区间为 2 3 3 3 3 2 单调递减区间为 3 2 3 2 3 2 3 2 3 由 f x tan 3 2 得 tan 3 sinx tan 3 2 3 sinx k 3 2 k Z sinx k3 3 6 k Z 又 1 sinx 1 3 23 3 23 k k 0 或 k 1 4 当 k 0 时 从 得方程sinx 3 6 当 k 1 时 从 得方程sinx 3 3 6 显然方程sinx 3 6 sinx 3 3 6 在 上各有2 个解 故 f x tan 3 2 在区间 上共有4 个解 注
6、本题是正弦函数与正切函数的复合 1 求 f x 的定义域和值域 应当先搞清 楚 y 3 sinx的值域与y tanx 的定义域的交集 2 求 f x 的单调区间 必须先搞清 f x 的基本性质 如奇偶性 周期性 复合函数单调性等 例 3 化简下列各式 1 cos 3A cos3 3 2 A cos 3 3 2 A 2 2sin 1 4sin 1 8sin 1 64sin 1 解 1 由三倍角公式cos3 4cos 3 3cos 得 原式 4 1 cos3A 4 3 cosA 4 1 cos3 3 2 A 4 3 cos 3 2 A 4 1 cos3 3 2 A 4 3 cos 3 2 A 4
7、1 cos3A cos3A cos3A 4 3 cosA cos 3 2 A cos 3 2 A cosA cos 3 2 A cos 3 2 A cosA 2cos 3 2 cosA 0 原式 4 3 cos3A 2 2sin 1 2sinsin sin 5 2sinsin sin2coscos2sin cot cot2 2sin 1 4sin 1 8sin 1 64sin 1 cot cot2 cot2 cot4 cot4 cot8 cot32 cot64 cot cot64 64sinsin 63sin 注本题 1 主要是降幂 通过降幂达到化简的目的 2 利用裂项法求和 三角 函数中最好
8、记住一些简单的常用结论 如 2sin 1 cot cot2 cosA cos 3 2 A cos 3 2 A 0 cos 2A cos2 3 2 A cos 2 3 2 A 2 3 等 这样既可提高运算速度又 可产生联想的火花 例 4 已知 sin 3 cos3 1 求 sin cos sin4 cos4 sin6 cos6 的值 解法一令 sin cos t 则 sin cos 2 1 2 t sin 3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 t 1 2 1 2 t 1 得 t 3 3t 2 0 t 1 2 t 2 0 t 2 t sin cos 1 且 sin co
9、s 2 1 2 t 0 sin 4 cos4 sin2 cos2 2 2sin 2 cos2 1 2 0 1 sin 6 cos6 sin2 cos2 sin4 sin2 cos2 cos4 1 解法二 sin 3 sin2 cos3 cos2 sin 3 cos3 sin2 cos2 1 等号当且仅当 coscos sinsin 3 3 时成立 1cos 0sin 或 1sin 0cos sin cos sin 4 cos4 sin6 cos6 1 注 1 凡是遇到sinx cosx与 sinx cosx类的问题 均应采用换元法 令 6 sinx cosx t 得 sinx cosx 2 1
10、 2 t 2 三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在 3 本题还可推广到一般情形 若k 2且 sin 2k 1 cos2k 1 1 则 sin 1 cos 0 或 sin 0 cos 1 若 sin 2k cos 2k 1 则 sin 1 cos 0 或 sin 0 cos 1 例 5 1 已知 sin 4 sin 4 6 1 2 求 sin4 2 已知cos x 4 5 3 4 5 x 4 7 求 x xx tan1 sin22sin 2 的值 解 1 4 4 2 sin 4 cos 4 sin 4 sin 4 sin 4 cos 4 2 1 sin 2 2 2 1
11、cos2 6 1 又 2 2 cos2 3 1 sin2 3 22 sin4 2sin2 cos2 9 24 本题也可以这样解 sin 4 sin 4 2 2 sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 2 1 sin 2 2 1 cos2 6 1 也可以用积化和差公式 sin 4 sin 4 2 1 cos2 cos 2 2 1 cos2 6 1 2 法一 由 x 4 2 3 2 知 sin x 4 5 4 cosx cos x 4 4 cos x 4 cos 4 sin x 4 sin 4 10 3 2 10 4 2 7 10 2 由 cosx 0 可知 4
12、 5 xf 2 21 xx 证明 tanx 1 tanx2 1 1 cos sin x x 2 2 cos sin x x 21 1221 coscos cossincossin xx xxxx cos cos sin 2 2121 21 xxxx xx x1 x2 0 2 且 x1 x2 2sin x 1 x2 0 cosx1 cosx2 0 0 cos x1 x2 1 从而有 0 cos x1 x2 cos x1 x2 cos 1 sin 2 21 21 xx xx 2tan 2 21 xx 另证 以上是采用化弦 放缩后利用公式tan 2 cos1 sin 加以证明的 也可以利 8 用正切
13、的和差角公式加以证明 左边 右边 2 1 tanx 1 tanx2 tan 2 21 xx 2 1 tanx1 tan 2 21 xx tanx2 tan 2 21 xx 2 1 tan x 1 2 21 xx 1 tanx 1 tan 2 21 xx tan x 2 2 21 xx 1 tanx 2 tan 2 21 xx 2 1 tan 2 21 xx 1 tanx 1tan 2 21 xx 1 tanx2 tan 2 21 xx 2 1 tan 2 21 xx tan 2 21 xx tanx 1 tanx2 2 21 xx 0 2 tan 2 21 xx 0 又 tan 2 21 xx
14、 和 tanx1 tanx2在 x1 x2时 同为正 在x10 综上 2 1 tan 2 21 xx tan 2 21 xx tanx1 tanx2 0 即 2 1 f x1 f x2 f 2 21 xx 注在三角函数恒等式 条件等式 不等式证明中 常采用化弦法 本题解法一是 化弦 了解决把两个分数的单角转化为和角 同时又使函数值适当缩小 例 7 已知三角形ABC的三边 a b c 和对应的三内角A B C满足条件 atanA btanB a b tan 2 BA 求证 ABC是等腰三角形 证明由 atanA btanB a b tan 2 BA 9 得 a tanA tan 2 BA b t
15、an 2 BA tanB 化弦得 a 2 coscos 2 sincos 2 cossin BA A BA A BA A b B BA BA BB BA cos 2 cos 2 cossincos 2 sin 两边约去cos 2 BA 及正弦定理把a b 换成 sinA sinB 则上式变为 A A cos sin sin 2 BA B B cos sin sin 2 BA sin 2 BA tanA tanB 0 所以 tanA tanB或者 sin 2 BA 0 由这两个式子都可以得到A B 因此 ABC为等腰三角形 注 1 三角形中的计算和证明是三角函数的一个重要课题 这里除了应用正弦定
16、 理 余弦定理 三角形面积公式 三个内角的互补关系和它们半角之间的互余关系之外 还有一些独特的解题思路和方法 其中把角的函数化成边或把边化成角的函数是最基本 也最常用的方法 2 在三角形中有不少有趣的关系式 如 tanA tanB tanC tanA tanB tanC cot 2 A cot 2 B cot 2 C cot 2 A cot 2 B cot 2 C tan 2 A tan 2 B tan 2 B tan 2 C tan 2 C tan 2 A 1 sinA sinB sinC 4cos 2 A cos 2 B cos 2 C cosA cosB cosC 1 4sin 2 A sin 2 B sin 2 C sinA sinB sinC 2 3 3 sinA sinB sinC 8 3 3 cosA cosB cosC 2 3 cosA cosB cosC 8 1 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 2 3 10 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 8 1 熟悉这些关系式常常会给解某些与三角形有关的题目带来一些方便 例 8 如图 A B 是一矩
