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1、石城中学2020届高三下学期第二次(线上)考试理科数学试卷满分:150分 时间:120分钟一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1设集合,则下列结论正确的是 ( )ABCD2命题“,”的否定是( )ABCD3若复数是纯虚数,则的值为( )ABCD4如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( )ABCD5已知函数,若正实数,满,则的最小值是( )A1BC9D1862018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分
2、生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( )ABCD7(错题再现)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )ABCD8干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,主要方式是由十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵)和十二地支(子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、)按顺序配对,周而复始,循环记录如:1984年是甲子年,1
3、985年是乙丑年,1994年是甲戌年,则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的()A丁申年B丙寅年C丁酉年D戊辰年9如图所示,边长为2的正方形ABCD中,E为BC边中点,点P在对角线BD上运动,过点P作AE的垂线,垂足为F,当最小时, ( )ABCD10(错题再现)过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点,若则曲线的离心率为( )ABCD11利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥方法如下:(1)以O为圆心制作一个小的圆;(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD;(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形,使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图
4、);(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底,四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起,使四个等腰三角形的顶点重合,问:要使所制作的正四棱锥体积最大,则小圆的半径为( )ABCD12已知函数,两个等式:对任意的实数均恒成立,且上单调,则的最大值为 ( )A1B2C3D42、 填空题:(本大题共4题,每小题5分,共20分.)13若数列为等差数列,为等比数列,且满足:,函数,则_.14_15二项式的展开式中,设“所有二项式系数和”为A,“所有项的系数和”为B,“常数项”值为C,若,则含的项为_16定义在R上的函数满足,又当时,成立,若,则实数t的取值范围为_三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明,证
5、明过程或演算步骤.)17已知函数的定义域为,集合.(1)若,求实数的值;(2)若,使,求实数的取值范围. 18某地种植常规稻和杂交稻,常规稻的亩产稳定为485公斤,今年单价为3.70元/公斤,估计明年单价不变的可能性为,变为3.90元/公斤的可能性为,变为4.00的可能性为.统计杂交稻的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如图.统计近10年杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如图.(1)根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值;(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二
6、年,杂交稻的亩产超过795公斤的概率;(3)判断杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择,明年种植哪种水稻收入更高?统计参考数据:,附:线性回归方程,.19如图所示,在四棱锥中,平面平面, , , (1)求证: ;(2)若二面角为为,求直线与平面所成的角的正弦值20已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点,是椭圆的左、右焦点,以点为圆心、3为半径的圆与以点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆上,且(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,直线与轴交于点,
7、直线与轴交于点,求证:21设函数.()讨论的导函数的零点的个数;()证明:当时.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程22在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)当时,求的普通方程和的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于两点,直线的倾斜角,点为直线与轴的交点,求的最小值选修4-5:不等式选讲23已知,且.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)证明:.一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1设集合,
8、则下列结论正确的是( B )ABCD【解析】B2命题“,”的否定是( B )ABCD【解析】B3若复数是纯虚数,则的值为( C )ABCD【解析】 C4如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( A )ABCD【解析】A5已知函数,若正实数,满,则的最小值是( A )A1BC9D18【详解】A62018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21:
9、56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是( C )ABCD故选C.7(错题再现)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( B )ABCD选B8干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,主要方式是由十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵)和十二地支(子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、)按顺序配对,周而复始,循环记录如:1984年是甲子年,1985年是乙丑年,1994年是甲戌年,则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的(C)A丁申年B丙寅年C丁酉年D
10、戊辰年选:C9如图所示,边长为2的正方形ABCD中,E为BC边中点,点P在对角线BD上运动,过点P作AE的垂线,垂足为F,当最小时, ( D )ABCD选D.10过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点,若则曲线的离心率为( A )ABCD选A11利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥方法如下:(1)以O为圆心制作一个小的圆;(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD;(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形,使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图);(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底,四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起,使四个等腰三角形的顶
11、点重合,问:要使所制作的正四棱锥体积最大,则小圆的半径为(C )ABCD选C.12已知函数,两个等式:对任意的实数均恒成立,且上单调,则的最大值为 ( A )A1 B2 C3 D4选A.3、 填空题:(本大题共4题,每小题5分,共20分.)13若数列为等差数列,为等比数列,且满足:,函数,则_. 故答案为:.14_; 【详解】=15二项式的展开式中,设“所有二项式系数和”为A,“所有项的系数和”为B,“常数项”值为C,若,则含的项为_【详解】依题得,所以n=8,在的展开式中令x=1,则有,所以a+b=2,又因为展开式的通项公式为,令.所以得到(舍),当时,由得.所以令,所以,故填.16定义在R
12、上的函数满足,又当时,成立,若,则实数t的取值范围为_【详解】由,令,则,所以为奇函数.因为当时,成立,所以当时,成立,所以在上单调递增,所以在R上单调递增.因为,即为,所以,所以,所以.故答案为:三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17已知函数的定义域为,集合.(1)若,求实数的值;(2)若,使,求实数的取值范围. 【解析】(1);(2)或.试题解析:(1),因为,所以;6分(2)由已知得:,所以或12分18某地种植常规稻和杂交稻,常规稻的亩产稳定为485公斤,今年单价为3.70元/公斤,估计明年单价不变的可能性为,变为3.90元/公斤的可能性为,变为4.00的
13、可能性为.统计杂交稻的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如图.统计近10年杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如图.(1)根据以上数据估计明年常规稻的单价平均值;(2)在频率分布直方图中,各组的取值按中间值来计算,求杂交稻的亩产平均值;以频率作为概率,预计将来三年中至少有二年,杂交稻的亩产超过795公斤的概率;(3)判断杂交稻的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)是否线性相关?若相关,试根据以下的参考数据求出关于的线性回归方程;调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为2万亩.若在常规稻和杂交稻中选择,明年种植哪种水稻收入更高?统计参考数据:,附:线性回归方程,.(1)3.9;(2)0.104;(3);选择种杂交稻收入更高.【详解】解:(1)设明年常规稻的单价为,则的分布列为3.703.904.000.10.70.2,估计明年常规稻的单价平均值为3.9(元/公斤); (3分)(2)杂交稻的亩产平均值为: .依题意知杂交稻的亩产超过795公斤的概率,则将来三年中至少二年,杂交稻的亩产超过795公斤的概率为:. (6分)(3)散点图中各点大致分布在一条直线附近,可以判断杂交稻的单价与种植亩数线性相关,由题中提供的数据得:,由得,线性回归方程为,