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1、$5可逆矩阵及应用举例本节要点可逆矩阵的基本概念二、逆矩阵的求法二、克擅默(CLaln】)法则四、矩阵方程五、逆矩阵在加密传输中的应用$5可逗矩阵及应用举例一、可逆矩阵的基本概念对于一元线性方程qv=,当4丿0时,存在D数哥二王使方程有解x=a“D=一,对于7个QQ未知数、个方程的线性方程组4x*=8.是否也能找到矩阵万.使方程有类似形式的解x=B呢?这问题的一般性讨论已超出本书范围.但读者不难看出.如果对于方程的系数矩阵4.存在7阶方阵么.使B4=卫的话,那么用日左乘上述方程4xr=0的两边,得B4xr=史0因B4=丁,于是xr=x二及0,这样就引出了逗矩阵的概念。定义1.11对于7阶方阵4
2、.如果存在一个7阶方阵万,使4B=:B4=匹,(47)则称矩阵4是可逆的.并把方阵丿称为4的逗矩阵或逗阵.如果矩阵4是可逗的.那么4的逗阵是唯一的.这是因为,设史、C都是4的逗阵则有BE=B(4C)=(B4)C=EC=C,所以4的送阵是唯一的.将4的逆阵记作1,即有d=447=对于定义1.11,读者应注意:(D可逗矩阵一定是方阵.并且其逗阵为同阶方阵;(2)(1.17)式中.矩阵4与上的地位是对称的.所以.由(1.17)式,么也是可逗阵.并且4与万互为可逗阵.即古=4.同时4=B.方阵4是否可逆是4的一个重要属性.可逆矩阵在线性代数的理论和应用中都起着重要的作用.引入逗阵的概念后.就可以回答本
3、节一开始提出的问题.如果现行方程组4x=的系数矩阵4是可逗的.则它有解x=4.接下来需要解决的问题是如何判别方阵4是否可逆?如果4可逗.如何求他的逆阵4-1?下面的定理回答了这两个问题定理12“(D)方阵4可逗的充分必要条件是目的行列式|引丿0:(2)当一可迈占4l井一才,(L18)|囱其中4是4的伴随矩阵.证(1)必要性,若4可逆,即有4使441=D于是det(447)=detE=1.由矩阵取行列式的性质(iii).得1=det(447)=det4ddet4.所以det4公0.充分性:由例(L32)的结李44=丁4=diag(|引|弘.引=|4lE.当判0时有倡人8j-e,由可逗矩阵的定义知4是可L肌且雄1二同4翼即(2)的结论也成立.对于方命4若|刃0勉目为非奇异阵否则称为奇异阵.定理13表明:可逗阵就是非奇异阵.推论如果同阶方阵4、万满足4B=万,则4可逗,且4“=史证由4B=石,两边取行列式得llB|=|4B|=|B|=1故|引0.因而4可逗,进一步.用4左乘4B=万的两诉.得(41刃古=4上述结论对一阶方阵也是成立的寸即A井及孝实上.对于一,1、e阶方阵a,当a丿0时,a-一万1.由定理1.2的推论,QQ可逗.且a“二王-Q方阵是否可逗.还有其他的判别方法.这将在以后章节中陆续介绍.例1.33判别矩阵4是否可逗?211解“仕=lp-1-5|-6-5+1+10=0.113
