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1、主要内容 引例 第三节唯一性 复数域的情形 实数域的情形 一 引例 引例二次型2x1x2 2x1x3 6x2x3的标准形 这个二次型是上一节中的例1 由此可知 二 次型2x1x2 2x1x3 6x2x3经过线性替换 变成的标准形为 可以验证 该二次型经过线性替换 就得到另一个标准形 这就说明 在一般的数域内 二次型的标准形不是 唯一的 而与所作的非退化线性替换有关 但有一 点是肯定的 即 在一个二次型的标准形中 系数 不为零的平方项的个数是唯一确定的 与所作的 线性替换无关 这是因为 经过非退化线性替换 四章第四节 合同的矩阵有相同的秩 这 就是说 经过非退化线性替换之后 二次型矩阵的 秩是不
2、变的 标准形的矩阵是对角矩阵 而对角矩 阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数 这 就证明了标准形中 系数不为零的平方项的个数是 唯一确定的 于是 我们引入二次型秩的概念 二次型的矩阵变成了一个与之合同的矩阵 由第 定义5称二次型矩阵的秩为二次型的秩 在本节中 我们要讨论的问题是 在复数域 和实数域中 进一步研究唯一性的问题 二 复数域的情形 设f x1 x2 xn 是一个复系数的二次型 由本章 经过一适当的非退化线性替换后 f x1 x2 xn 变成标准形 不妨假设它的标准 形是 d1y12 d2y22 dryr2 di 0 i 1 2 r 其中r是f x1 x2 xn 的矩阵的秩 因为复
3、数 总可以开平方 所以我们再作一非退化线性替换 d1y12 d2y22 dryr2 di 0 i 1 2 r 就变成 z12 z22 zr2 上式称为复二次型f x1 x2 xn 的规范形 显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定 因此 有 定理3任意一个复系数的二次型 经过一 适当的非退化线性替换可以变成规范形 且规范形 是唯一的 定理3换个说法就是 定理3 任一复数的对称矩阵合同于一个形式 为 的对角矩阵 从而有 两个复数对称矩阵合同的充 分必要条件是它们的秩相等 三 实数域的情形 设f x1 x2 xn 是一个实系数的二次型 由本章 经过一适当的非退化线性替换 再适当排列文字的次序 可使f
4、 x1 x2 xn 变 成标准形 d1y12 dpyp2 dp 1y2p 1 dryr2 其中di 0 i 1 r r是f x1 x2 xn 的秩 因为在实数域中 正实数总可以开平方 所以再作 一非退化线性替换 二次型d1y12 dpyp2 dp 1y2p 1 dryr2就变成 z12 zp2 z2p 1 zr2 称之为实二次型f x1 x2 xn 的规范形 显然 规范形完全被r p这两个数所决定 对于实系数二 次型的规范形 我们有以下定理 定理4 惯性定理 任意一个实数域上的二 次型 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范 形 且规范形是唯一的 证明 定理的前一半在上面已经证明 下面就 来证
5、唯一性 设实二次型f x1 x2 xn 经过非退化线性 替换X BY化成规范形 f x1 x2 xn y12 yp2 y2p 1 yr2 而经过非退化线性替换X CZ也化成规范形 f x1 x2 xn z12 zq2 z2q 1 zr2 现在来证明p q 用反证法 设p q 由以上假设 我们有 y12 yp2 y2p 1 yr2 z12 zq2 z2q 1 zr2 其中 Z C 1BY 令 则有 于是可得关于y1 yp yp 1 yn的齐次线性方程组 为了从等式 y12 yp2 y2p 1 yr2 z12 zq2 z2q 1 zr2 中找到矛盾 令yp 1 yn 0 z1 zq 0 该方程组含
6、有n个未知量 而含有 q n p n p q n 个方程 由第三章 知它有非零解 令 y1 yp yp 1 yn k1 kp kp 1 kn 是一个非零解 显然 kp 1 kn 0 这时 等式 y12 yp2 y2p 1 yr2 z12 zq2 z2q 1 zr2 的左边为 k12 k22 kp2 0 而它的右边为 z2q 1 zr2 0 这是一个矛盾 它说明假设p q是不对的 因此 就有p q 同理可证q p 从而p q 这就证明了规范 形的唯一性 定义6在实二次型f x1 x2 xn 的规范 形中 正平方项的个数p称为f x1 x2 xn 的 正惯性指数 负平方项的个数r p称为f x1
7、x2 xn 的负惯性指数 它们的差p r p 2p r称为f x1 x2 xn 的符号差 应该指出 虽然实二次型的标准形不是唯一的 但是由上面化成规范形的过程可以看出 标准形中 系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个 数是一致的 因此 惯性定理也可以叙述为 实二 次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确 定的 它等于正惯性指数 而系数为负的平方项的 个数就等于负惯性指数 把上述关于二次型的规范形的结论 移置到矩 阵上来 就是 定理5 1 任一复对称矩阵A都合同于一个 下述形式的对角矩阵 其中对角线上1的个数r等于A的秩 2 任一实对称矩阵A都合同于一个下述形式 的对角矩阵 其中对角线
8、上1的个数p及 1的个数r p r是A 的秩 都是唯一确定的 分别称为A的正 负惯性 指数 它们的差2p r称为A的符号差 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按
9、钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮
