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1、2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2008年4月13日）命题人：胡云华（版权所有，请不要转传其他商业网站）本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。题号12345678得分评卷人答案1已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素（ ）个 A2 B4 C6 D82设为的边的中点，为内一点，且满足,，则 （ ）A. B. C. D. 3在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则 （ ）A B C D4已知当时，
2、函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为 （ ）AB CD5已知是函数 的一个零点，是函数的一个零点，则的值为 （ ）A1 B2008 C D40166函数的定义域为D，若满足在D内是单调函数，存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”，则的取值范围是 （ ）A B C D7如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余 （ ）A B C D8使为完全平方数的正整数有 （ ）A2个 B3个 C
3、4个 D无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。得分评卷人9已知向量满足，若，则_.10若数列中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数的最大值为 .11如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 .12把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米13在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7
4、、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是 .14设，则函数的最小值为_.三、解答题：本大题共3小题，共54分。得分评卷人15（本小题16分）已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）若，不等式的解集为B，求实数的取值范围。16(本小题满分18分) 设,若,.得分评卷人（1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若都为正整数，求的最小值。17（本小题20分）在平面上有一系列点，对每个正整数,以点为圆
5、心的与轴及射线都相切，且与彼此外切若,且 （）（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设数列的各项为正，且满足， 得分评卷人求证：（3）当时，求证： 2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。题号12345678得分评卷人答案1已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有元素（ C ）个 A2 B4 C6 D8【分析】显然，有6组解，有6个元素，选C。2设为的边的中点，为内一点，且满足,，则 （ C ）A. B.
6、C. D. 【分析】如图四边形DPEB为平行四边形，选C。3在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得，则 （ B ）A B C D【分析】如图延长OB到D，使得BD=OB，则四边形OADC为平行四边形，又，则，选B。4已知当时，函数取最大值，则函数图象的一条对称轴为 （ A ）AB CD【分析】当时，函数取最大值，解得：，是它的一条对称轴，选A。5已知是函数 的一个零点，是函数的一个零点，则的值为 （ B ）A1 B2008 C D4016【分析】如图：是曲线与曲线交点A的横坐标，是曲线与曲线交点B的横坐标，函数与互为反函数，A与B关于直
7、线y=x对称即为点A的纵坐标，选B6函数的定义域为D，若满足在D内是单调函数，存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”，则的取值范围是 （ C ）A B C D【分析】因为函数在其定义域内为增函数，则若函数为“好函数”，方程必有两个不同实数根，方程有两个不同的正数根，选C。7如图，一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余 （ D ）A B C D【分析】大球的半径为，设小球的半径，则设小球
8、切截面CDE于F，则设，利用等积法求得，所以选D。8使为完全平方数的正整数有 （ ）A2个 B3个 C4个 D无数个【分析】若，当时，分别为36，64是完全平方数；若，设，若它是平方数，则令：，即：，左边一定为偶数，而右边则是奇数，所以方程无正整数解，选A。二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。得分评卷人9已知向量满足，若，则.【分析】且，10若数列中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数的最大值为 5 .【分析】由，同理由所以这个数列最多只能有5项，否则由，则得与题设矛盾。11如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，
9、AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 48 .【分析】从三视图看，顶点已被截去，所以这个多面体如上图，其体积为。12把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米【分析】设这两段的长度分别为米、米则、满足关系，其平面区域为右上图所示阴影部分，两圆的面积之和为，看成是个圆的方程，这个圆经过点或时，最大，其最大值为平方米。13在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、
10、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是 3953 .【分析】前次总共取了项，满足不等式的最大整数为，前62次取了1953项，所以子数列中的第2008项必是奇数，而且是第63次取出的第55个奇数，前62次取数在正整数数列中有个整数没有被取到，所以第63次取的第一个数为1953+1891+1=3845，第55个为395314设，则函数的最小值为_10_.【分析】取等号当且仅当，即：。三、解答题：本大题共3小题，共54分。得分评卷人15（本小题16分）已知函数.（1）求函数单调递增区间；（2）若，不等式的解集为B，求实数的取值范围。【解】（1），5分由解得：，在区间上单调递增。8分（2），又解得12分而，得16分。16(本小题满分18分) 设,若,.得分评卷人（1）求证：方程在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若都为正整数，求的最小值。【证明】（1），由得：
