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1、2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2008年4月13日)命题人:胡云华(版权所有,请不要转传其他商业网站)本卷满分为150分,考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分。题号12345678得分评卷人答案1已知集合,集合,映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为,则以为坐标的点组成的集合有元素( )个 A2 B4 C6 D82设为的边的中点,为内一点,且满足,,则 ( )A. B. C. D. 3在点O处测得远处质点P作匀速直线运动,开始位置在A点,一分钟后到达B点,再过一分钟到达C点,测得,则 ( )A B C D4已知当时,
2、函数取最大值,则函数图象的一条对称轴为 ( )AB CD5已知是函数 的一个零点,是函数的一个零点,则的值为 ( )A1 B2008 C D40166函数的定义域为D,若满足在D内是单调函数,存在使在上的值域为,那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”,则的取值范围是 ( )A B C D7如图,一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球,大球与立方体的六个面都相切,每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余 ( )A B C D8使为完全平方数的正整数有 ( )A2个 B3个 C
3、4个 D无数个二、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分。得分评卷人9已知向量满足,若,则_.10若数列中任意连续三项和都为正数,任意连续四项和都为负数,则项数的最大值为 .11如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图,在这个多面体中,AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 .12把一根长为7米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段),这两段的长度差不超过1米,分别以这两段为圆的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米13在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1,第二次取2个连续偶数2、4;第三次取3个连续奇数5、7
4、、9;第四次取4个连续偶数10、12、14、16;第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,则在这个子数列中,由1开始的第2008个数是 .14设,则函数的最小值为_.三、解答题:本大题共3小题,共54分。得分评卷人15(本小题16分)已知函数.(1)求函数单调递增区间;(2)若,不等式的解集为B,求实数的取值范围。16(本小题满分18分) 设,若,.得分评卷人(1)求证:方程在区间(0,1)内有两个不等的实数根;(2)若都为正整数,求的最小值。17(本小题20分)在平面上有一系列点,对每个正整数,以点为圆
5、心的与轴及射线都相切,且与彼此外切若,且 ()(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设数列的各项为正,且满足, 得分评卷人求证:(3)当时,求证: 2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(解答)本卷满分为150分,考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分。题号12345678得分评卷人答案1已知集合,集合,映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为,则以为坐标的点组成的集合有元素( C )个 A2 B4 C6 D8【分析】显然,有6组解,有6个元素,选C。2设为的边的中点,为内一点,且满足,,则 ( C )A. B.
6、C. D. 【分析】如图四边形DPEB为平行四边形,选C。3在点O处测得远处质点P作匀速直线运动,开始位置在A点,一分钟后到达B点,再过一分钟到达C点,测得,则 ( B )A B C D【分析】如图延长OB到D,使得BD=OB,则四边形OADC为平行四边形,又,则,选B。4已知当时,函数取最大值,则函数图象的一条对称轴为 ( A )AB CD【分析】当时,函数取最大值,解得:,是它的一条对称轴,选A。5已知是函数 的一个零点,是函数的一个零点,则的值为 ( B )A1 B2008 C D4016【分析】如图:是曲线与曲线交点A的横坐标,是曲线与曲线交点B的横坐标,函数与互为反函数,A与B关于直
7、线y=x对称即为点A的纵坐标,选B6函数的定义域为D,若满足在D内是单调函数,存在使在上的值域为,那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”,则的取值范围是 ( C )A B C D【分析】因为函数在其定义域内为增函数,则若函数为“好函数”,方程必有两个不同实数根,方程有两个不同的正数根,选C。7如图,一个棱长为的立方体内有1个大球和8个小球,大球与立方体的六个面都相切,每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切,现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥,截面都为正三角形并与小球相切,变成一个新的立体图形,则原立方体的每条棱还剩余 ( D )A B C D【分析】大球的半径为,设小球的半径,则设小球
8、切截面CDE于F,则设,利用等积法求得,所以选D。8使为完全平方数的正整数有 ( )A2个 B3个 C4个 D无数个【分析】若,当时,分别为36,64是完全平方数;若,设,若它是平方数,则令:,即:,左边一定为偶数,而右边则是奇数,所以方程无正整数解,选A。二、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分。得分评卷人9已知向量满足,若,则.【分析】且,10若数列中任意连续三项和都为正数,任意连续四项和都为负数,则项数的最大值为 5 .【分析】由,同理由所以这个数列最多只能有5项,否则由,则得与题设矛盾。11如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图,在这个多面体中,
9、AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为 48 .【分析】从三视图看,顶点已被截去,所以这个多面体如上图,其体积为。12把一根长为7米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段),这两段的长度差不超过1米,分别以这两段为圆的周长围成两个圆,则这两个圆的面积之和的最大值为平方米【分析】设这两段的长度分别为米、米则、满足关系,其平面区域为右上图所示阴影部分,两圆的面积之和为,看成是个圆的方程,这个圆经过点或时,最大,其最大值为平方米。13在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1,第二次取2个连续偶数2、4;第三次取3个连续奇数5、7、9;第四次取4个连续偶数10、12、14、
10、16;第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,则在这个子数列中,由1开始的第2008个数是 3953 .【分析】前次总共取了项,满足不等式的最大整数为,前62次取了1953项,所以子数列中的第2008项必是奇数,而且是第63次取出的第55个奇数,前62次取数在正整数数列中有个整数没有被取到,所以第63次取的第一个数为1953+1891+1=3845,第55个为395314设,则函数的最小值为_10_.【分析】取等号当且仅当,即:。三、解答题:本大题共3小题,共54分。得分评卷人15(本小题16分)已知函数.(1)求函数单调递增区间;(2)若,不等式的解集为B,求实数的取值范围。【解】(1),5分由解得:,在区间上单调递增。8分(2),又解得12分而,得16分。16(本小题满分18分) 设,若,.得分评卷人(1)求证:方程在区间(0,1)内有两个不等的实数根;(2)若都为正整数,求的最小值。【证明】(1),由得: