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1、千教万教，教人求真； 千学万学，学做真人。-成都学苑教育初三周末培优班专业优质 例1：25（2015.重庆）如图1，在ABC中，ACB=90，BAC=60，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF。 （1） 如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长。 （2） 如图1，求证：HF=EF。 （3） 如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。解：（1）ACB=90，BAC=60，ABC=30，AB=2AC=223=43， ADAB，CAB=60
2、，DAC=30，AH=12AC=3，AD=AHcos30=233，BD=AB2+AD2=213； （2）如图1，连接AF，AE是BAC角平分线，HAEBA）-60=30-FBA，EAF=FDH，在DHF与AEF中，DHAEHDFEAHDFAF， DHFAEF，HF=EF；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在RtADE中，AD=2AE，DF=BF，AM=BM，AD=2FM，FM=AE， E=30，ADE=DAH=30，在DAE与ADH中，AHDDEA90ADEDAHADAD， DAEADH，DH=AE，点F是BD的中点，DF=AF，EAF=EAB-FAB=30-FABFDH=FDA-
3、HDA=FDA-60=（90-FbrABC=30，AC=CM=12AB=AM，CAE=12CAB=30CMF=AMF-AMC=30， 在ACE与MCF中，ACCMCAECMFAEMF， ACEMCF，CE=CF，ACE=MCF，ACM=60，ECF=60，CEF是等边三角形例2：27（2015.成都） 已知,ACEC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90。 （1） 如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF。 1) 求证：CAEDCBF；2) 若BE=1,AE=2，求CE的长。 （2） 如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=E
4、F/FC时，若BE=1,AE=2,CE=3，求k的值； （3） 如图，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45时，设,BE=m，AE=n，CE=p，试探究,m、n、p三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程） （1） （i）证明：四边形ABCD和EFCG均为正方形，ACBCCECF2， ACB=ECF=45，ACE=BCF，在CAE和CBF中，ACBCCECF2ACEBCF， CAECBF（ii）解：CAECBF，CAE=CBF，AEBFACBC， 又CAE+CBE=90，CBF+CBE=90，EBF=90，又AEBFACBC2，AE=22BF2，BF2，EF
5、2=BE2+BF2=12+(2)2=3，EFF，CAE+CBE=90，CBE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2+BF2=1+4k2+1，ECFCk2+1，CEEF=k2+1k，CE=3，EF=3kk2+1，1+4k2+1(3kk2+1)29k2k2+1，k258，解得k=104，ABBC=EFFC=k0，k=104 （3）DAB=45，ABC=180-45=135，在ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2ABBCF=3， CE2=2EF2=6，CE=6 （2）如图，连接BF，ABBC=EFFC=k， BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，AC=AB2+BC2k2
6、a2+a2ak2+1，CE=EF2+FC2=k2b2+b2bk2+1，ACBCECFCk2+1，ACE=BCF， 在ACE和BCF中，ACBCECFCk2+1ACEBCF， ACEBCF，AEBFACBCk2+1，CAE=CBF， 又AE=2，2BFk2+1，BF=2k2+1， CAE=CBcos135=2BC2-2BC2(-22)=BC2(2+2) 在ACE和BCF中，ACBCECFC2+2ACEBCF， ACEBCF，AEBFACBC2+2，CAE=CBF， 又AE=n，BF2AE22+2n22+2， CAE=CBF，CAE+CBE=90，CBE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2
7、+BF2，p22+2m2+n22+2，（2+2）m2+n2=p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2+2）m2+n2=p2例3：23.(2015.安徽) 如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC (1)求证：ADBC；(2) 求证：AGDEGF；(3) 如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 AD/EF的值 考点：相似形综合题.分析：（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明AGDBGC，得出对应边相等即可；（2）先证出AGB=DGC，由，证
8、出AGBDGC，得出比例式，再证出AGD=EGF，即可得出AGDEGF；（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AHBH，由AGDBGC，得出GAD=GBC，再求出AGE=AHB=90，得出AGE=AGB=45，求出，由AGDEGF，即可得出的值解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，GA=GB，同理：GD=GC，在AGD和BGC中，AGDBGC（SAS），AD=BC；（2）证明：AGD=BGC，AGB=DGC，在AGB和DGC中，AGBDGC，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGDEGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AHBH，AGDBGC
9、，GAD=GBC，在GAM和HBM中，GAD=GBC，GMA=HMB，AGE=AHB=90，AGE=AGB=45，又AGDEGF，=点评：本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果例4：23（2015潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE （1）求证：DEAG； （2）正方形ABCD固定，将正方
10、形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2 在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数； 若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，AGO+DEO=90，AHE=90，即DEAG；（2）在旋转过程中，OAG成为直角有两种情况：（）由0增大到90过程中，当OAG=90时，OA=OD=OG=OG，在RtOAG中，sinAGO=，AGO=30，
11、OAOD，OAAG，ODAG，DOG=AGO=30，即=30；（）由90增大到180过程中，当OAG=90时，同理可求BOG=30，=18030=150综上所述，当OAG=90时，=30或150如图3，当旋转到A、O、F在一条直线上时，AF的长最大，正方形ABCD的边长为1，OA=OD=OC=OB=，OG=2OD，OG=OG=，OF=2，AF=AO+OF=+2，COE=45，此时=315例5：23 （2015.海南）如图 9-1，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，BCD = 60，射线 AP 交 BC 的延长线于点 E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点 （1） 求证：ADPECP； （2） 若 BP = nPK，试求出 n 的值； （3）作 BMAE 于点 M，作 KNAE 于点 N，连结 MO、NO，如图 9-2 所示 请证明MON 是等腰三角形，并直接写出MON 的度数 （1）证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，DAP=CEP，ADP=ECP，在ADP和ECP中，ADPECP；（2）如图1，作PICE交DE于I，则=，又点P是CD的中点，=，ADPECP， AD=CE，=，
