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1、第二章 单自由度系统 理论 2 12 12 12 1 引言引言 单自由度系统是更进一步研究振动的基础 一些单自由度系统的例子表示在图 2 1 中 虽然这些系统在外表上不同 但它们都可以用图 1 1 所示的一般模型表示 这里我们使用四种方法 1 能量法 2 牛顿第二定律 3 频率响应法 4 叠加 原理 由于振动是一种能量交换现象 所以首先介绍简单的能量法 应用牛顿第二定律 单自 由度系统由一个二阶运动微分方程描述 如果激振是一解析表达式 那么 方程能够用 经 典 的方法求解 如果激振是任意函数 可用叠加原理求得系统的运动 频率响应法假定激 振是正弦的 而且在感兴趣的频率范围内研究系统的性质 注意
2、 一个系统以它自己的方式振动 而与分析方法无关 应用不同方法的目的是为了 寻求最方便的方法来表示系统的特征和描述它的固有性质 我们把牛二和叠加原理作为时间 域分析来对待 轩为一质量的运动是时间的函数 例如以时间作为独立变量的微分方程的解 频率响应法假定激振和系统响应都是正弦的而且具有同样的频率 因此 它是一种频率域分 析 时间响应是直观的 但是在频率域内描述一个系统更方便 值得注意的是 时间域分析和频率域分析肯定是相关的 因为它们是考虑同一问题的不 同方法 事实上 被作为时间域技术来对待的叠加原理是研究线性系统的基础 由叠加原理 导出的褶积积分可以应用于时间域或频率域 我们在这里仅仅介绍这个非
3、常重要的原理的一 个方面 而不讨论相关的方法 时间分析和频率分析的数学相关性并不是新东西 然而 直 到最近几年来 电子计算机 测试设备和试验技术的进步 它才在实际中得到应用 2 22 22 22 2 自由度自由度 一个振动系统的自由度个数是确定这个系统状态所必需的独立的空间坐标个数 我们定 义状态为这个系统的所有质量的几何位置 如这些质量的相互关系只需要一个空间坐标就完 全确定 那么就说这个系统具有一个自由度 对于空间一个刚体的完全确定需要六个坐标 即三个确定直线运动的坐标和三个确定旋 转运动的坐标 然而 通常一系统中的质量受约束仅仅以一定的方式运动 因此 约束限制 了系统自由度的个数 另一方
4、面 一个系统的自由度数也可以定义为确定系统状态所需要的空间坐标个数减去 约束方程的个数 我们用一些例子来说明这些定义 对图 2 1 中表示的单自由度系统简单讨论如下 1 弹簧 质量系统 如图 2 1 a 所示 质量 m 悬挂在具有弹簧常数 k 的螺旋弹簧上 若 m 受到约束 只能沿垂直方向在它的平衡点 O 附近上下运动 那么 一个空间坐标 x t 就能确定系统状态 因此 我们可以说 这种系统具有一个自由度 2 扭转摆 如图 2 1 b 所示 由一个重圆盘 J 和一个具有扭转弹簧常数 t k且质量可 忽略不计的轴组成 若系统受到约束 盘只能绕着此轴的纵向轴线振荡 这种系统状态可以 用一个单一坐标
5、 t 确定 3 质量 弹簧 悬臂梁系统 如图 2 1 c 所示 如果悬臂梁的质量可忽略不计 质量 m 限制在垂直方向运动 那么 这种系统是一个自由度系统 由于略去了悬臂梁的惯性影响而 仅考虑它的弹性 悬臂梁就变成了一个弹簧元件 从而 由给定的质量 m 和一个等效弹簧 得到了一个简单的质量 弹簧系统 等效弹簧由弹簧 k 和悬臂梁联合构成 4 质量 滑轮 弹簧系统 如图 2 1 d 所示 如果假定绳和滑轮 J 之间无滑动以及绳不 可伸长 则这种系统是一单自由度系统 虽然这个系统具有两个质量元件 m 和 J 但 m 的 线位移 tx和 J 的角位移 t 相互不独立 因此 tx或 t 都可以用来确定系
6、统的状态 5 常以角速度 旋转的简单弹簧 受载飞球调节器 如图 2 1 e 所示 若在调节器上 作用一干扰 那么 系统的振动运动可用角坐标 t 表示 6 限制在 xy 平面内运动的单摆 如图 2 1 f 所示 它的状态可用笛卡尔直角坐标 tx 和 ty或转动用 t 确定 然而 x y 坐标是互相不独立的 x y 之间满足约束方程 222 Lyx 式中假定摆长 L 为常量 因此 若任意待定 tx 则 ty由上式确定 图 2 2 表示了几个两自由度系统 1 两质量 两弹簧系统 如图 2 2 a 所示 若限制质量仅在垂直方向运动 则系统具 有两个自由度 确定系统状态的两个空间坐标是 1 tx和 2
7、tx 2 弹簧 质量系统 如图 2 2 b 所示 在前面 这个系统作为单自由度系统 若允许 质量沿螺旋弹簧的轴线振荡 也允许在一个平面内从一边到另一边 则这时系统有两个自由 度 3 空间摆 如图 2 2 c 所示 它的状态可用坐标 t 和 t 或用坐标 tx ty和 tz来描述 tx ty和 tz满足约束方程 2222 Lzyx 因此 这个押只有两个 自由度 2 32 32 32 3 运动方程运动方程 能量法能量法 一保守系统的运动方程可用能量法建立 若图 2 3 中的保守系统处于运动状态 则系统 的总机械能是动能和势能的总和 动能 T 是由于质量作运动而产生的运动能 势能 U 是由 于弹簧变形所产生的应变能 由于系统是保守的 所以总机械能是常数 因此 它对时间的 层数是零 这可表示为 T U 总机械能 常数 2 2 为了寻出 2 3 中弹簧 质量系统的运动方程 假定质量 m 的位移 tx是由它的静平衡位 置量起 tx向下为正 由于弹簧的质量可忽略不计 所以 系统的动能 T 为 对应整个系统的势能是 1 弹簧的应变能 2 由于质量的高度的变化引起的位能的 代数和 系统相对于静平衡位置的净势能为 方式无关 显而易见 仅仅振幅方式无关 显而易见 仅仅振幅 A A A A 和相位角和相位角 取决于初始条件 取决于初始条件 三个例题 三个例题
