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1、 习题1 参考解答 ( P25 )1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件 第一次出现正面, 两次出现同一面, 至少有一次正面出现. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 球的最小号码为1. 3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件得一件废品. 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再从第二袋中任取一球.记事件两次取出的球有相同颜色. 5) 掷两颗骰子,记事件出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点,出现点数之和为偶数,但没有一
2、颗骰子出现1点.答案:1) , 其中 正面出现; 反面出现.; ; . 2) 由题意,可只考虑组合,则;. 3) 用号表示正品,10号表示废品.则; .4) 记第一袋中的球为,第二袋中的球为,则;.5) ;.注: 也可如下表示: ;.2. 一个工人生产了个零件,以事件表示“他生产的第个零件是正品”.试用表示下列事件:1) 没有一个零件是次品； 2) 至少有一个零件是次品；3) 只有一个零件是次品； 4) 至少有两个零件不是次品.答案: 1) ; 2) ; (亦即:全部为正品的对立事件) 3); 4) .3.设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: 1）A发生; 2）只有A
3、发生; 3）A与B发生而C不发生; 4）三个事件都发生;5) 三个事件中至少有一个发生;6) 三个事件中至少有两个发生;7) 三个事件中恰好发生一个;8) 三个事件中恰好发生两个;9) 三个事件都不发生; 10) 三个事件中不多于两个发生;11) 三个事件中不多于一个发生.解:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ( ) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件); 7) ; 8) ; 9) (=); 10） (=)(等价说法:至少有一个不发生.); 11) (=)(即:至少有两个不发生).4. 试把事件表示成个两两互不相容事件之并.答案: . 5. 甲从2,4,6,8,10中
4、,乙从1,3,5,7,9中各任取一数,求甲的数大于乙的数的概率.解: 所有可能情况有种,所涉事件共有15种可能,则所求概率为 .6. 一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.试求:1) 5只都是好的概率为多少? 2) 有2只坏的概率为多少?解: 所有可能情况有种 (注:组合数 ,下同.),则所求概率为 1) ; 2) .7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.解: 所有可能情况为种,则所求概率为 . 8.某城市的自行车都有牌照,其编号从00001到10000.偶然遇到一
5、辆自行车,求其牌照中含有数字8的概率.解: 利用对立事件求概率的公式,所求概率为 . 9. 设甲袋中有只白球只黑球,乙袋中有只白球只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.解: 所有可能情况有种,则所求概率为 .10. 设一个人的生日在星期几是等可能的.求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不在同一天的概率.解: 所有可能情况为种,则所求概率为 .11. 从双尺码不同的鞋子中任取()只,求下列事件的概率: 1) 所取只鞋子中没有两只成对;2) 所取只鞋子中只有两只成对;3) 所取只鞋子恰好配成对.解: 样本空间可考虑有种可能结果,古典概型,则所求概率分别为 1) ; 2) ;3
6、) . 12. 设有个人,每人都被等可能地分配到个房间中的任一间.求下列事件的概率: 1) 指定的间房里各住一人; 2) 恰有间房,其中各住一人.解: 所有可能情况为种,则所求概率分别为1) ; 2) .13. 甲乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球): , 当为偶数时,则所求概率为 . 当为奇数时,则所求概率为 .14.从装有个白球,个黑球的袋中一次次地有放回摸球,直至摸到白球为止.求在偶数次摸到白球的概率.解: 记事件:表示第次摸到黑球; :表示第次摸到白球.则
7、 事件偶数次摸到白球. 故所求概率为偶数次摸到白球 .15. 已知一个家庭有三个孩子,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.(假设生男生女是等可能的.)解: 在三个孩子的家庭中,样本点总数为种,记事件 三个孩子的家庭中有女孩, 三个孩子的家庭中至少有一个男孩.要求 ? 由 , 又 , ,则 . 16. 掷三颗骰子,已知所得的点数都不一样,求含有1点的概率.解: 掷三颗骰子,点数都不一样, 掷三颗骰子,有1点. 要求 ?由 , 且 , .则 . 17.口袋中有只白球,只黑球,一次取出只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概率为多少?解: 记事件, ,要求 ?则 . 18. 设件产品中有件废
8、品,从中任取两件. 1) 在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率; 2) 在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率.解: 1) 记事件, ,则所求概率为 .2) 记事件,则所求概率为 .19. 袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了次都没有摸到黑球的概率.解: 记事件:第次摸到白球, , 要求: ? 由计算概率的乘法定理,则所求概率为.20.个人依次摸彩(张票中有一张彩票), 1) 已知前个人都没摸到,求第个人摸到彩票的概率;2) 求第个人摸到彩票的概率.解: 记事件第个人摸到彩票, , 1) 所求
9、概率为 . 2) 由,则.21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解: 记事件所选射手能进入比赛, 所选射手为第级, . 已知 , , , , , , . 用全概率公式,则所求概率为 .22. 有个口袋,每袋中有个黑球个白球,从第一袋中任取一球放入第二袋, 再从第二袋中任取一球放入第三袋,这样一直做下去,直至从第袋中取出一球.求: 1) 最后取出白球的概率; 2) 从第一袋中取出是白球的条件下,求最后取出白球的概率.解: 记事件从第袋中取出白球,
10、. 1) , 归纳假设: , 则.所以 . 2) 要求:?, 记,则.23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少?解: 记事件表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产; 事件所取产品是废品. 要求:? () 已知 , , , , . 则 .由贝叶斯公式,则所求概率分别为 , , . 24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘
11、飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?解: 记事件分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.事件朋友迟到. 要求:? 已知 , , , , , , . 则 .由贝叶斯公式,则所求概率为 .25. 装有个白球和个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.解: 记事件丢失白球,任取两个球都是白球.要求:? 由 , 已知, , , .则所求概率为 .26.设个事件相互独立,且,求下列事件的概率: 1) 个事件全不发生; 2) 个事件至少发生一个; 3) 个事件恰好有一个发生.解:1) ; 2) ; 3) . 27. 一架轰炸机袭击
12、1号目标,另一架袭击2号目标,击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.解: 记事件击中号目标, .要求:? 方法一: .方法二: . 28. 如下列图,分别求所示系统能正常工作的概率,其中框图中的字母代表元件,各元件能否正常工作是相互独立的.字母相同而下标不同的都是同类元件,类元件的可靠性分别为.A1A2A3B3B2B1BCAD2D1A1CB2B1A2解: 分别以表示对应元件能正常工作.则所求概率分别为 1) . 2) . 3) 方法一: . 方法二: . 29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲、乙命中的概率分别为,甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?解: 记事件第轮甲命中目标, 第轮乙命中目标, . 则 甲获胜,所以 . 由于 乙获胜,所以 .或: . 30.一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%.为试验某种新药是否有效,把它给10名患者服用,并规定至少有4名患者痊愈则认为新药有效,否则,认定新药无效.试求: 1) 虽然新药有效,
