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1、1曲线积分与曲面积分曲线积分1 计算曲线积分 , 其中 是 , .Ldsyx)(Lxy|1| 20解 曲线参数化.曲线 是一条折线. 要分段计算. 以 为参数.x=Ls)( )15(2)(5)2(2110 d2 计算曲线积分 , 其中 是曲面 与 的交线.dzyx22xyz9xz解 代入化简被积函数. 曲面 和 的交线是一个圆. 坐标原点到平面 的距离等于z22911, 于是这个圆的半径等于 , 周长等于 . 又因为曲线 是|019224曲面 和 的交线, 所以 上所有点满足球面方程. 代入, 得xyz229xz1= =dszy)(229183 计算曲线积分 , 其中 是双纽线 .|ydsL
2、coar解 曲线参数化. 奇偶对称性. 选极角为参数. 利用奇偶对称性. 计算在第一象限的部分, 则 , 代2cos)(2ar入公式, 得= =|ydsL daa402cosin2cos)4(4 计算曲线积分 , 其中 是曲面 与 的交线.x2xyzxyz0解 轮换对称性. 代入化简被积函数.因为曲线 关于平面 及 都对称, 所以yzdsx2dszyx)(3122 323a结论： 设分段光滑曲线 关于 轴对称, 将它从左到右定向记作 . 是它的位) L1于右半平面的部分. 又设函数 在 上连续, 且满足 , PQ,LPxy(,)(), 则 = , . Qxy(,)()Lxy(1)(2Lxydy
3、0),(5. 计算曲线积分 , 其中 是圆周 的正向.dx2) 22a解 曲线参数化. 将 , 代入, 得taxcostyinLyxd2)()( 220t26. 计算曲线积分 , 其中 是由曲线 和 围成的区域dxyL|Lyx12:Lyx22:的边界的正向.解 曲线参数化. 奇偶对称性.不考虑方向, 曲线 关于 轴对称, 被积函数关于变量 是偶函数, 用奇偶对称性, 有y. 被积函数关于变量 是偶函数, 曲线 和 在右半平面的部分分别记作 和dyxL|0xL12 L1, 则2= +dxyL|21xyL|2dxyL|两段曲线具有不同的表达式, 需分别计算. 计算在 上的积分时, 以 为参数; 计
4、算在1x上的积分时, 以极角为参数. 代入公式, 得L2= + =dxyL|220dx0sin2cod2)34l(格林公式1. 计算曲线积分 , 其中 是由曲线122yxdxyxdyLcossincosL, , 围成区域 的正向边界.xy2243,D解 用格林公式计算.根据格林公式, 有=122yxdxyxdyLcossincosDx2用二重积分的换元法. 令 , 则区域 变成 平面上的矩形uv, uov. 雅可比行列式 , 代入公式, 得243uv, J21()= =2xdDvuvd22431432. 计算曲线积分 , 其中 是曲线 上从yxyL2ln()Lyxsin点 到点 的弧.)0,(
5、),(解 添加一段弧成闭路, 用格林公式计算.添加 x 轴上从点 到点 的直线段, 记它们共同围成的区域为 , 用格林公式, 0)(D得ydxxydL2 2ln)= =yD222x239433. 计算曲线积分 , 其中 的正向.Lxydxde233)sin()( 22:RyxL解 化简被积函数, 用格林公式计算. 因为被积函数在原点没有定义, 不能直接用格林公式. 将曲线方程代入被积函数的分母, 得 LxLx dyxdyeRyxe )sin()(1)si()( 332233这时可以使用格林公式了. 记 , 则:DDL dyxdeR )()sin()(1 22332 2R4. 设函数 有连续的偏
6、导数, 求证: , 其中 是圆周fx)0Ldxfyxf) L的正向.(ay221证 用格林公式证明不等式. 用格林公式, 有 = .xfdyfxL()()Ddxfyf)(1因为区域 关于直线 对称, 用轮换对称性, 有D=ff)(1ff)(2D5. 求极限 , 其中 是圆周 的正向.Lt dynmxdbyax)(1lim20 L22tyx解 用格林公式求极限. 设 围成的区域为 , 根据格林公式, 有DLt yxyx)()(li20 Dt dbm)(1li2012bmtbt 6. 设函数 有连续导数, 则曲线积分 与路径无关.fx() fxydyL()()2证 用曲线积分与路径无关的条件.计算
7、可得, , 满足曲线积分与路径无关的条件.PyfxyQ22()7. 求函数 , 使得曲线积分 与路径无关. )(xpLydxedpe)(2解 用曲线积分与路径无关的条件.根据曲线积分与路径无关的条件, 有 , 即 . 2pxyy(y积分, 得 .Cy2)(8. 计算曲线积分 , 其中 是曲线 上从点 到点Lcxd2/3) Lbax2(,)a0的弧 .(,)0b(,0ab解 曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.4计算可得 , 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择xQycxyP2/52)(3容易计算的积分路径: 先从点 沿直线到点 , 再从点 沿直线到点 .,a0)(ba),(ba(
8、)0b= +Ld2/32)(bycd2/3202/32cxd= 1ac9. 计算曲线积分 , 其中函数 有连续导数,点2yfxdfxydAB()()fx().321,(,)解 用条件判定曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.计算可得 , 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, xQyxfyfP21)()(选择容易计算的积分路径: 沿曲线 从点 到点 .)3,(A)2,1(B AB dyxfdxyf 2)(1ff3 )(2413x10. 计算曲线积分 , 其中 是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线. xyL2L证 用复连通区域的格林公式. 选择比较简单的闭路. 积分式在坐标原点无意义, 取 足
9、够小, 使得圆周 在 的内部. 因为被0 22:yxCL积函数满足微分方程 , 所以在 与 C 之间的区域上的二重积分等于零. 于是在用多连xQyP通区域的格林公式时, 相当于换成另一条闭路, = =dL2dyxC2 2sinco202d11. 验证 是某个函数 的全微分, 并求出一个这样的函数.eyxx(cosin)u()解 用全微分的条件.计算可得 , 满足全微分的条件. 选坐标原点为始点, 则xQePxiydedyu00sin),( 1coscos1yeyexxx验算: .曲面积分结论 1.设光滑曲面 关于 平面对称, 是 在上半空间的部分. 函数 在曲xoy1),(zyxf面 上连续,
10、 且满足 = , 则 .),(zf)(zf 1,2),(dSfdSzyxf52.设函数 在光滑曲面 上连续, 的面积记作 , 则存在点),(zyxfA, 使得 = .),(MdSAf)(1. 计算曲面积分 , 其中 是锥面 .)(2zxyz21,解 向坐标平面投影.向 平面的投影区域为 . . 用计算公式, 得xoyDxy:212xy= =dSy)(2()d2 2012rd2. 计算曲面积分 , 其中 是 .()xzzxyz2,解 奇偶对称性.曲面关于 平面和 平面对称, 因此 . ozy0)(dSDxyxdS2241)( 21234drr52(603. 计算曲面积分 , 其中 是球面dSzy
11、)3222Rz解 轮换对称性.因为球面 关于平面 和 都对称, 所以22Rzxxyz= =2dS2于是, = =dSzyx)3(22 zyx)(2228R结论 设光滑有向曲面 关于 平面对称, 函数 , , 在 上oP)(zyxQ),(z连续, 且 , , )(),(zPzy )()(zzQ, 则,xRx. dPdxy0,dxyR4. 计算曲面积分 , 其中 是锥面 的下侧.z2 zz21,解 向坐标平面投影. 奇偶对称性. 曲面 关于 平面对称, 被积函数 关于 是偶函数, 于是 . yoz2x02dyxDdydx 3201r5. 计算曲面积分 , 其中 是圆锥面zyz)()()(, 的下侧
12、.2yxzhz解 轮换对称性. 曲面 关于平面 对称, 用轮换对称性, 得xdxydzd)()()(6= dxydzydxz)()()(于是=0xyz6. 计算曲面积分 , 其中 是柱面 , , )()1 yzyx yx2y1的右侧.10解 向坐标平面的投影是曲线弧. 因为曲面 在 平面的投影是一条曲线, 所以 . o 0)1(zdx曲面 关于 平面对称, 函数 关于 x 的是偶函数, 所以 ; 函数 关yzyz yzxyz于 的是奇函数, 所以 . x0xd记 是 在第一卦限的部分, 是 在 平面上的投影, 是 在 平面上的投1D1oz2D1o影, 用计算公式, 得)()xdyzy= 1122xzd212/3DDzdxz= + =0/302z5
