《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第一节 微分方程的基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第一节 微分方程的基本概念（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 微分方程 第七章微分方程 第一节微分方程的基本概念 二 微分方程的解 定义1凡含有未知函数导数 或微分 的方程 一 微分方程 称为微分方程 有时简称为方程 未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程 本教材仅讨论常微分方程 并简称为微分方程 1 y kx k为常数 例如 下列方程都是微分方程 其中y v q均为未知函数 2 y 2xy dx x2dy 0 3 mv t mg kv t 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶 例如 方程 1 3 为一阶微分方程 通常 n阶微分方程的一般形式为 F x y y y n 0 其中x是
2、自变量 y是未知函数 F x y y y n 是已知函数 而且一定含有y n 4 5 方程 4 5 为二阶微分方程 定义2任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数 都叫做该方程的解 二 微分方程的解 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同 且任意常数之间不能合并 则称此解为该方程的通解 或一般解 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解 称为方程的特解 例如方程y 2x的解y x2 C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同 因此 这个解是方程的通解 如果求满足条件y 0 0的解 代入通解y x2 C中 得C 0 那么y x2就是方程y 2x的特解 二阶微分方程的初始条件是 即y x
3、0 y0与y x0 y 0 微分方程与其初始条件构成的问题 称为初值问题 求解某初值问题 就是求方程的特解 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件 通常一阶微分方程的初始条件是 例1验证函数y 3e x xe x是方程 y 2y y 0 的解 解求y 3e x xe x的导数 y 4e x xe x y 5e x xe x 将y y 及y 代入原方程的左边 5e x xe x 2 4e x xe x 3e x xe x 0 即函数y 3e x xe x满足原方程 得 有 所以该函数是所给二阶微分方程的解 得C 2 故所求特解为y 2x2 例2验证方程的通解 为y Cx2 C为任意常
4、数 并求满足初始条件y x 1 2的特解 解由y Cx2得 y 2Cx 将y及y 代入原方程的左 右两边 左边有y 2Cx 所以函数y Cx2满足原方程 又因为该函数含有一个任意常数 所以y Cx2是一阶微分方程 将初始条件y x 1 2代入通解 例3设一个物体从A点出发作直线运动 在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍 求物体运动规律 或称运动方程 解首先建立坐标系 取A点为坐标原点 物体运动方向为坐标轴的正方向 如图 并设物体在时刻t到达M点 其坐标为s t 显然 s t 是时间t的函数 它表示物体的运动规律 是本题中待求的未知函数 s t 的导数s t 就是物体运动的速度v t 由题意 知
5、 v t 2t 以及 s 0 0 因为v t s t 因此 求物体的运动方程已化成了求解初值问题 积分后 得通解s t t2 C 故初值问题的解为s t t2 也是本题所求的物体的运动方程 再将初始条件 代入通解中 得C 0 例4已知直角坐标系中的一条曲线通过点 1 2 且在该曲线上任一点P x y 处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方 求此曲线的方程 解设所求曲线的方程为y y x 根据导数的几何意义及本题所给出的条件 y y2 即 积分得 又由于已知曲线过点 1 2 代入上式 得 所以 求此曲线的方程为 得 一般地 微分方程的每一个解都是一个一元函数y y x 其图形是一条平面曲线 我们称它为微分方程的积分曲线 通解的图形是平面上的一族曲线 称为积分曲线族 特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线 这就是微分方程的通解与特解的几何意义
