解三角形（上）解析版

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1、解三角形 上 解析版 1 2019 全 国 理 17 ABC 的 内 角 A B C 的 对 边 分 别 为 a b c 设 22 sinsin sinsinsinBCABC 1 求 A 2 若22abc 求 sinC 1 解析 1 由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC 故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A 所以60A 2 由 1 知120BC 由题设及正弦定理得 2sinsin 1202sinACC 即 631 cossin2sin 222 CCC 可得 2 cos60 2 C 由于0120C 所以

2、 2 sin60 2 C 故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 2 2019全国 理18 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知sinsin 2 AC abA 1 求 B 2 若 ABC 为锐角三角形 且 c 1 求 ABC 面积的取值范围 2 解析 1 由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sin0A 所以sinsin 2 AC B 由 180ABC 可得sincos 22 ACB 故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B 故 1 sin 22 B 因此60B 2 由题设及 1 知 A

3、BC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC 为锐角三角形 故090A 090C 由 1 知120AC 所以3090C 故 1 2 2 a 从而 33 82 ABC S 因此 ABC 面积的取值范围是 33 82 3 2019 江苏 15 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 a 3c b 2 cosB 2 3 求 c 的值 2 若 sincos 2 AB ab 求sin 2 B 的值 3 解析 1 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac 得 222 2 3 2 32

4、3 cc cc 即 2 1 3 c 所以 3 3 c 2 因为 sincos 2 AB ab 由正弦定理 sinsin ab AB 得 cossin 2 BB bb 所以cos2sinBB 从而 22 cos 2sin BB 即 22 cos4 1 cosBB 故 2 4 cos 5 B 因为sin0B 所以cos2sin0BB 从而 2 5 cos 5 B 因此 2 5 sincos 25 BB 4 2019 北京 15 在ABC 中 a 3 b c 2 1 cos 2 B 求 b c 的值 求sin B C 的值 4 解析 I 由余弦定理 222 2cosbacacB 得 222 1 32

5、 3 2 bcc 因为2bc 所以 2 22 1 232 3 2 ccc 解得5c 所以7b II 由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B 由正弦定理得 5 3 sinsin 14 c CB b 在ABC 中 B 是钝角 所以C 为锐角 所以 2 11 cos1sin 14 CC 所以 4 3 sinsincoscossin 7 BCBCBC 5 2019 天津理 15 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知2bca 3 sin4 sincBaC 求cosB的值 求sin 2 6 B 的值 5 解析 在ABC 中 由 正 弦 定 理 sinsin bc BC 得

6、sinsinbCcB 又 由 3 sin4 sincBaC 得3 sin4 sinbCaC 即34ba 又因为2bca 得到 4 3 ba 2 3 ca 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B aa 由 可得 2 15 sin1 cos 4 BB 从而 15 sin22sincos 8 BBB 22 7 cos2cossin 8 BBB 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 6 2018 全国 I 卷理科 17 在平面四边形ABCD中 90ADC 45A 2AB 5BD 1 求co

7、sADB 2 若2 2DC 求BC 6 解析 1 在ABD 中 由正弦定理得 sinsin BDAB AADB 由题设知 52 sin45sinADB 所以 2 sin 5 ADB 由题设知 90ADB 所以 223 cos1 255 ADB 2 由题设及 1 知 2 cossin 5 BDCADB 在BCD 中 由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 2582 5 2 2 5 25 所以5BC 7 2018 北京理 15 在ABC 中 7a 8b 1 cos 7 B 1 求A 2 求AC边上的高 7 解析 1 在ABC 中 因为 1 cos 7 B 所以 2 B 所以

8、 2 4 3 sin1cos 7 BB 由正弦定理得 sinsin ab AB 78 sin4 3 7 A 所以 3 sin 2 A 因为 2 B 所以 0 2 A 所以 3 A 2 在ABC 中 因为 3114 33 3 sinsinsin cossin cos 272714 CABABBA 如图所示 在ABC 中 因为sin h C BC 所以 3 33 3 sin7 142 hBCC 所以AC边上的高为 3 3 2 8 2017 全国 1 理 17 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知ABC 的面积为 2 3sin a A 1 求sin sinBC的值 2 若6cos c

9、os1BC 3a 求ABC 的周长 8 解析 1 因为ABC 的面积 2 3sin a S A 且 1 sin 2 SbcA 所以 2 1 sin 3sin2 a bcA A 即 22 3 sin 2 abcA 由正弦定理得 22 3 sinsinsinsin 2 ABCA 由sin0A 得 2 sinsin 3 BC 2 由 1 得 2 sinsin 3 BC 又 1 coscos 6 BC 因为 ABC 所以 1 coscos cossinsinC coscos 2 ABCBCBBC 又因为 0 A 所以60A 3 sin 2 A 1 cos 2 A 由余弦定理得 222 9abcbc 由

10、正弦定理得sin sin a bB A sin sin a cC A 所以 2 2 sinsin8 sin a bcBC A 由 得33bc 所以333abc 即ABC 周长为333 9 2017 全国 2 理 17 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 已知 2 sin8sin 2 B AC 1 求cosB 2 若6ac ABC 的面积为 2 求 b 9 解析 1 依题得 2 1cos sin8sin84 1cos 22 BB BB 因为 22 sincos1BB 所以 22 16 1cos cos1BB 所以 17cos15 cos1 0BB 得 cos1B 舍去 或 15

11、cos 17 B 2 由 可知 8 sin 17 B 因为2 ABC S 所以 1 sin2 2 acB 即 18 2 217 ac 得 17 2 ac 因为 15 cos 17 B 所以 222 15 217 acb ac 即 222 15acb 从而 22 215acacb 即 2 361715b 解得 2b 10 2017 全国 3 理 17 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 已知 sin3cos0AA 2 7a 2b 1 求c 2 设D为BC边上一点 且ADAC 求ABD 的面积 10 解析 1 由sin3cos0AA 得 2sin0 3 A 即 3 Akk Z 又

12、0 A 所以 3 A 得 2 3 A 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 又因为 1 2 7 2 cos 2 abA 代入并整理得 2 125c 解得4c 2 因为2 2 7 4ACBCAB 由余弦定理得 222 2 7 cos 27 abc C ab 因为ACAD 即ACD 为直角三角形 则cosACCDC 得7CD 从而点D为BC的中点 111 sin3 222 ABDABC SSABACA 11 2017 北京理 15 在ABC 中 60A 3 7 ca 1 求sinC的值 2 若7a 求ABC 的面积 11 解析 1 在ABC 中 因为60A 3 7 ca 所以由正弦定理得 s

13、in333 3 sin 7214 cA C a 2 因为7a 所以 3 73 7 c 由余弦定理 222 2cosabcbcA 得 222 1 7323 2 bb 解得8b 或5b 舍 所以ABC 的面积 113 sin8 36 3 222 SbcA 12 2017 天津理 15 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知ab 5 6ac 3 sin 5 B 1 求b和sin A的值 2 求 sin 2 4 A 的值 12 解析 1 在ABC 中 因为ab 故由 3 sin 5 B 可得 4 cos 5 B 由已知及余弦定理 得 222 2cos13bacacB 所以13b

14、 由正弦定理 sinsin ab AB 得 sin3 13 sin 13 aB A b 2 由 及ac 得 2 13 cos 13 A 所以 12 sin22sincos 13 AAA 2 5 cos212sin 13 AA 故 7 2 sin 2sin2 coscos2 sin 44426 AAA 13 2016 全国乙理 17 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知 2cos coscos C aB bAc 1 求C 2 若7c ABC 的面积为 3 3 2 求ABC 的周长 13 解析 1 由已知及正弦定理得 2cos sin cos sin cos sinCABBAC 即

15、2cos sin sinCA BC 故2sincossinCCC 可得 1 cos 2 C 所以 3 C 2 由已知得 13 3 sin 22 abC 又 3 C 所以6ab 由已知及余弦定理得 22 2 cos7ababC 故 22 13ab 从而 2 25a b 所以ABC 的周长为57 14 2016 全国丙理 21 设函数 cos2 1 cos 1 f xaxax 其中0a 记 f x 的最大值为A 1 求 fx 2 求A 3 证明2 fxA 14 解析 1 2 sin21 sinfxaxax 2 当1a 时 cos21cos1fxaxax 21320aaaf 因 此32A 当01a

16、时 将 f x变形为 2 2 cos1 cos1f xaxax 令 2 211g tatat 则A是 g t 在 1 1 上的最大值 1ga 132ga 且当 1 4 a t a 时 g t取得极小值 极小值为 2 2 1161 1 488 aaaa g aaa 令 1 11 4 a a 解得 1 3 a 且 1 5 a 所 以 1 5 a i 当 1 0 5 a 时 g t在 1 1 内无极值点 1ga 123ga 11gg 所以23Aa ii 当 1 1 5 a 时 在同一坐标中画出函数y x 32yx 2 61 8 xx y x 在 1 5 上的图像 由如图所示的图形可知 我们得到如下结论当 1 1 5 a 时 2 61 8 aa A a 综上可知 2 1 23 0 5 61 1 1 85 32 1 aa aa a a aa 3 由 1 得 2 sin21 sin21fxaxxaa 当 1 0 5 a 时 1242 232fxaaaA 当 1 1 5 时 13 1 884 a A a 所以 12fxaA 当1a 时 31 642fxaaA 所以 2fxA 综上所述有 2fxA 1