《高等数学全套配套课件工科类魏寒柏骈俊生 第二章极限及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学全套配套课件工科类魏寒柏骈俊生 第二章极限及其应用（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、极限及其应用 第二章 第二章 知识目标 理解函数极限的概念和极限思想方法掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限公式理解函数连续的概念了解间断点的分类掌握闭区间上连续函数的性质能力目标 能应用极限思想方法分析解决实际问题能应用极限方法判断函数在某点的连续性会求水平和垂直渐近线能运用MATLAB软件计算极限 极限思想可以追溯到古代 刘徽的割圆术是早期极限思想的应用 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想 第一节极限的概念 一 极限的概念 案例2 1 一尺之棰 的无限分割 庄子 天下篇 一尺之棰 日取其半 万世不竭 第一节极限的概念 第一节极限的概念 1 数列的极限 定义2 1对于数列 如果当无限增大时
2、通项无限趋近于某个确定的常数 则称常数为数列的极限 记作 或 这时称数列收敛于 否则称数列发散 此时极限不存在 第一节极限的概念 例讨论下列数列的极限 1 2 解 1 观察 当时 于是有 故 第一节极限的概念 2 因数列为 0 1 0 1 当无限增大时 数列在0和1之间来回跳动 不可能无限趋近于一个确定的常数 所以不存在 此数列是发散的 第一节极限的概念 第一节极限的概念 2 函数的极限 对函数来说 自变量的变化趋向有六种情况 第一节极限的概念 1 当时 函数极限 2 当时 函数极限 第一节函数及其性质 1 包含了且无限增大 记 和且无限增大 记 两种情形 有结论 2 数列极限是函数在时极限的
3、特殊情形 3 有两种特殊情形 即从的左边无限趋近于 记 或从的右边无限趋近于 记 有结论 4 函数在点的左极限与右极限 也可分别记作 左 右极限统称为单侧极限 第一节极限的概念 例讨论下列函数极限 1 2 解 1 故不存在 2 时 故 第一节极限的概念 请思考 函数在一点处极限是否存在与函数在该点有无定义有关系吗 例求函数在处的极限 解 故故 第一节极限的概念 二 无穷小与无穷大1 无穷小的概念定义2 4若函数当 或 时的极限为零 则称函数为 或 时的无穷小 常用字母等表示 例如 因为 所以函数是时的无穷小 第一节函数及其性质 1 说一个函数是无穷小 必须指明自变量的变化趋向 2 无穷小是一个
4、变量 不要把一个绝对值很小的常数 如0 000000001 说成是无穷小 因为这个常数尽管很小 但它的极限并不等于0 数 0 是常数中唯一的一个无穷小 3 无穷小与函数极限的关系 第一节极限的概念 2 无穷小的运算性质 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小 请思考 无限个无穷小之和不一定是无穷小 请举例说明 第一节极限的概念 例求解 因为 故是时的无穷小 又 即是一个有界函数 根据无穷小的运算性质得 想想 第一节极限的概念 3 无穷大的概念定义2 5若当 或 时 函数的绝对值无限增大 则称函数
5、当 或 时为无穷大 1 函数为无穷大时 其实它的极限是不存在的 但为了便于描述函数的这种变化趋势 我们也说 函数的极限是无穷大 2 无穷大是一个变量 不是常数 一个无论多么大的常数都不是无穷大 第一节极限的概念 4 无穷小和无穷大的关系在自变量的同一变化过程中 若为无穷大 则为无穷小 若为无穷小 且 则为无穷大 例求解 因为 所以 小背景 对于无穷小的认识问题 可以追溯到古希腊 那时 阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果 但他认为无限小量方法存在着不合理的地方 特别是17世纪创立的微积分 由于是建立在当时还存在逻辑矛盾的无穷小分析的基础上 曾因 贝克莱悖论 即无穷小究竟是否为零的问
6、题 引发了第二次数学危机 直到1821年 柯西在他的 分析教程 中才对无限小这一概念给出了明确的回答 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的 第二节求极限的方法 一 极限的四则运算法则 若则有 第二节求极限的方法 例求解 定理设为次多项式 则有 若也为多项式 且 则有 第二节求极限的方法 例求 解 当时 分子 分母的极限均为0 为 型 可先约分再求极限 第二节求极限的方法 例求 解 当时 分母的极限为0 分子的极限不为0 不能直接用商的运算法则 但由于 所以 第二节求极限的方法 例求 解 当时 分子与分母的极限都为无限大 不能直接用商的运算法则 考虑分子 分母同除以 得 第二节求极
7、限的方法 其中 且为非负整数 第二节求极限的方法 例求 1 2 解 1 2 第二节求极限的方法 二 两个重要极限 1 第一个重要极限 考察当时 函数的变化趋势 可见 当时 显然 第二节求极限的方法 正确使用第一个重要极限 要特别注意其两个特征 1 一定趋于0 2 分子是的正弦函数 分母是本身 其变量代换形式是 当时 第二节求极限的方法 例求 1 2 解 1 2 令 第二节求极限的方法 2 第二个重要极限 考察当时 函数的变化趋势 可见 当时 函数的对应值会无限地趋近于一个确定的常数 我们用字母e来表示 第二节求极限的方法 正确使用第二个重要极限 要特别注意其两个特征 1 底是数1加上无穷小 2
8、 指数是底中无穷小的倒数 其变量代换形式是 当时 第二节求极限的方法 例求 1 2 解 1 2 第二节求极限的方法 三 无穷小的比较 定义2 7设是同一变化过程中的两个无穷小 是比高阶的无穷小 记是比低阶的无穷小与是同阶无穷小特别地 当时 与是等价无穷小 记 第二节求极限的方法 1 等价无穷小的替换定理 设且存在 则 2 当时 常用的等价无穷小 第二节求极限的方法 例求 1 2 解 1 原式 8 2 原式 第三节极限的应用 一 函数连续的判定 客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的 而且其运动变化的过程往往是连续不断的 比如日月行空 岁月流逝 植物生长 温度变化 物种变化等 这些连续不断发展
9、变化的事物在量的方面反映的就是函数的连续性 第三节极限的应用 1 函数在一点处的连续性 定义2 7如果变量从初值变到终值 终值与初值之差 称为变量的增量 或称改变量 记作 1 是一个整体不可分割的记号 2 可正可负 也可以为零 第三节极限的应用 自变量和函数的增量关系 第三节极限的应用 例设函数 求适合下列条件的和 1 当由1变到1 5 2 当由1变到 解 1 2 第三节极限的应用 定义2 8设函数在点的邻域内有定义 如果当自变量在点的增量趋近零时 函数相应的增量也趋近于零 即则称函数在点处连续 其中 若令连续条件也可改写为 第三节极限的应用 定义中函数在点处连续 必须同时具备下列三个条件 函
10、数在点处有定义 即存在 极限存在 极限值等于函数值 即 第三节极限的应用 例考察函数在点处的连续性 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同 因此 一般要先考虑在分段点处的左极限与右极限 故连续 称左连续 称右连续 第三节极限的应用 2 连续函数与连续区间 若函数在开区间内的每一点都连续 则称在开区间内连续 区间称函数的连续区间 若函数在开区间内连续 且在左端点右连续 在右端点左连续 则称函数在闭区间上连续 连续函数的图形是一条连续不间断的曲线 第三节极限的应用 3 函数的间断点 函数不连续的点称为函数的间断点 该点处必有如下三种情形之一 1 函数在点处无定义 2 函数在点处虽有定义 但不存在
11、3 函数在点处有定义 且存在 但 第三节极限的应用 间断点的分类第一类间断点 左 右极限 都存在 其中 如果左 右极限存在且相等 则称可去间断点 如果左 右极限存在 但不相等 则称跳跃间断点 第二类间断点 左 右极限至少有一个不存在 如果其中有一个为无穷大 则称无穷间断点 如果其中有一个为振荡 则称振荡间断点 第三节极限的应用 第三节极限的应用 例 第三节极限的应用 二 初等函数的连续性及性质 定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 例求解 因为初等函数的定义域为 在其定义域内 所以 第三节极限的应用 闭区间上连续函数的性质 性质1 最值定理 若函数在闭区间
12、上连续 则在上必有最大值和最小值 第三节极限的应用 性质2 介值定理 若函数在闭区间上连续 和分别是在上的最小值和最大值 则对介于与之间的任一实数 在内至少存在一点 使得 第三节极限的应用 推论 零点定理 若函数在闭区间上连续 且 则至少存在一点 使得零点定理也称根的存在性定理 其几何意义 第三节极限的应用 例证明方程在内至少有一个根 证 令 则在上连续 且由零点定理知 在内至少存在一点 使得 即 第三节极限的应用 三 曲线的渐近线 定义2 12如果曲线上的点沿曲线趋于无穷远时 此点与某一直线的距离趋于零 则称此直线为曲线的渐近线 第三节极限的应用 例如 为曲线的水平渐近线 为曲线的垂直渐近线 THANKS
