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1、 习题课 级数的收敛 求和与展开 机动目录上页下页返回结束 三 幂级数和函数的求法 四 函数的幂级数和付式级数展开法 一 数项级数的审敛法 二 求幂级数收敛域的方法 第十一章 在收敛域内进行 基本问题 判别敛散 求收敛域 求和函数 级数展开 为傅立叶级数 为傅氏系数 时 时为数项级数 时为幂级数 机动目录上页下页返回结束 一 数项级数的审敛法 1 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2 正项级数审敛法 必要条件 发散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收敛 发散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 机动目录上页下页返回结束 3 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法
2、 若 且 则交错级数 收敛 概念 且余项 机动目录上页下页返回结束 例1 若级数 均收敛 且 证明级数 收敛 证 则由题设 收敛 收敛 收敛 练习题 P2571 2 3 4 5 机动目录上页下页返回结束 解答提示 P257题2 判别下列级数的敛散性 提示 1 据比较判别法 原级数发散 因调和级数发散 机动目录上页下页返回结束 利用比值判别法 可知原级数发散 用比值法 可判断级数 因n充分大时 原级数发散 用比值判别法可知 时收敛 时 与p级数比较可知 时收敛 时发散 再由比较法可知原级数收敛 时发散 发散 收敛 机动目录上页下页返回结束 P257题3 设正项级数 和 也收敛 提示 因 存在N
3、0 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 都收敛 证明级数 当n N时 机动目录上页下页返回结束 P257题4 设级数 收敛 且 是否也收敛 说明理由 但对任意项级数却不一定收敛 问级数 提示 对正项级数 由比较判别法可知 级数 收敛 收敛 级数 发散 例如 取 机动目录上页下页返回结束 P257题5 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 提示 1 P 1时 绝对收敛 0 p 1时 条件收敛 p 0时 发散 2 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 故 机动目录上页下页返回结束 因 单调递减 且 但 所以原级数仅条件收敛 由Leibniz判别法知级数收敛 机动目录上页下页返回
4、结束 因 所以原级数绝对收敛 机动目录上页下页返回结束 二 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数 先求收敛半径R 再讨论 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 P257题7 求下列级数的敛散区间 练习 机动目录上页下页返回结束 解 当 因此级数在端点发散 时 时原级数收敛 故收敛区间为 机动目录上页下页返回结束 解 因 故收敛区间为 级数收敛 一般项 不趋于0 级数发散 机动目录上页下页返回结束 例2 解 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 原级数 其收敛半径 注意 机动目录上页下页返回结束 求部分和式极限 三 幂级数和函数的求法 求和 映射变换
5、法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 直接求和 直接变换 间接求和 转化成幂级数求和 再代值 求部分和等 初等变换法 分解 套用公式 在收敛区间内 数项级数求和 机动目录上页下页返回结束 例3 求幂级数 法1易求出级数的收敛域为 机动目录上页下页返回结束 法2 先求出收敛区间 则 设和函数为 机动目录上页下页返回结束 练习 解 1 显然x 0时上式也正确 故和函数为 而在 x 0 P258题8 求下列幂级数的和函数 级数发散 机动目录上页下页返回结束 4 机动目录上页下页返回结束 显然x 0时 和为0 根据和函数的连续性 有 x 1时 级数也收敛 即得 机动目录上页下页返回结束 练习 解 原
6、式 的和 P258题9 2 求级数 机动目录上页下页返回结束 四 函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法 练习 1 将函数 展开成x的幂级数 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 解 机动目录上页下页返回结束 1 函数的幂级数展开法 2 设 将f x 展开成 x的幂级数 的和 01考研 解 于是 并求级数 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 函数的付式级数展开法 系数公式及计算技巧 收敛定理 延拓方法 练习 上的表达式为 将其展为傅氏级数 P258题11 设f x 是周期为2 的函数 它在 解答提示 机动目录上页下页返回结束 思考 如何利用本题结果求级数 根据付式级数收敛定理 当x 0时 有 提示 P2576 2 7 3 8 2 3 9 1 10 1 12 作业 机动目录上页下页返回结束
