《高等数学 教学课件 作者 经管类 第4章 导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 教学课件 作者 经管类 第4章 导数的应用（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章导数的应用 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性4 2函数的极值与最值4 3曲线的凹凸与拐点4 4洛比达法则4 5应用与实践4 6拓展与提高 一知识结构 第四章导数的应用 二教学基本要求和重点 难点 1 教学基本要求 1 拉格朗日中值定理 2 利用洛必达法则求函数极限的方法 3 极值的概念 极值存在的必要条件 4 判别函数单调性 判别极值的方法 第四章导数的应用 5 曲线凹凸性判别方法与拐点的求法 6 求函数最大值最小值的方法 7 求函数渐近线 描绘简单函数图形 8 边际与弹性概念 边际分析 弹性分析与优化分析 第四章导数的应用 1 重点用导数判断函数单调性 函数图形的凹向与拐点 经济函
2、数的优化分析 2 难点用导数判断函数单调性 描绘函数图形及在经济方面的应用 2 教学重点与难点 第四章导数的应用 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 第四章导数的应用 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 4 1 1拉格朗日中值定理 定理4 1设函数f x 满足条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则在 a b 内至少存在一点 使得 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 例1验证函数f x ln x 1 在 0 1 上是否满足拉格朗日中值定理的三个条件 如满足求出 解 f x ln x 1 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 满足拉格朗日中值定理 从而存在一点
3、 使 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 4 1 2函数的单调性 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 1 函数单调性的必要条件 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 如果f x 在 a b 单调增加 减少 则在 a b 内 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 2 函数单调性判定法 定理4 2设函数f x 在区间 a b 内可导 1 如果在区间 a b 内有 则f x 在 a b 内单调增加 2 如果在区间 a b 内有 则f x 在 a b 内单调减少 4 1拉格朗日中值定理与函数的单调性 例2讨论函数f x lnx x的单调性 解 此函数的定义域为 函数的定
4、义域分成两个区间 当0 x 1时 故f x 在 0 1 内单调增加 当时 故f x 在内单调减少 4 2函数的极值与最值 4 2 1函数的极值 1 极值的定义 定义4 1设函数f x 在点x0的某邻域内有定义 若对该邻域内任一点x x x0 都有f x f x0 则称f x0 为函数的极大值 或极小值 x0为函数的极大值点 极小值点 第四章导数的应用 4 2函数的极值与最值 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 4 2函数的极值与最值 定理4 3极值的必要条件若函数f x 在x0处取得极值 且导数存在 则必有 定理4 3的逆定理不成立 4 2函数的极值与最值 2 极值判别法
5、 判别法1设函数f x 在点x0的某邻域内可导 若或在点x0处导数不存在但在x0处连续 1 当x逐渐增大的通过点x0时 若导数值由正变负 则函数f x 在点x0处取极大值f x0 若导数值由负变正 则函数f x 在点x0处取极小值f x0 2 当x逐渐增大的通过点x0时 若导数值不变号 则x0不是函数f x 的极值点 4 2函数的极值与最值 求函数极值的一般解题步骤为 1 求出导数 2 求出函数的可疑极值点 3 用极值判别法1判定以上的点是否为极值点 4 求出极值点处的函数值 即为极值 4 2函数的极值与最值 例3求函数的单调区间和极值 解 函数f x 的定义域为 得到驻点 1 4 2函数的极
6、值与最值 判别法2 若 存在 1 若 则f x0 为极小值 2 若 则f x0 为极大值 4 2函数的极值与最值 例4求函数的极值 解 此函数的定义域为 因此函数f x 在x1处取得极小值 4 2函数的极值与最值 4 2 2函数的最值 定义4 2设函数f x 在闭区间I上连续 若x0 I 且对所有x I 都有f x0 f x 或f x f x 则称f x0 为函数f x 的最大值 或最小值 4 2函数的极值与最值 实际问题求解最值的一般解题步骤为 1 分析问题 建立目标函数把问题的目标作为因变量 把它所依赖的量作为自变量 建立二者的函数关系 即目标函数 并确定函数的定义域 2 解极值问题确定自
7、变量的取值 使目标函数达到最大值或最小值 例5堆料场的材料使用问题 欲围建一个面积为288平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其他三面墙壁新建 现有一批高为若干 总长度为50米的用于围建围墙的建筑材料 问这批建筑材料是否够用 4 2函数的极值与最值 解 设场地的宽为x 为使场地面积为288平方米 则场地的长应为288 x 若以l表示新建墙壁总长度 则目标函数为 1 求导数 4 2函数的极值与最值 3 求二阶导数 所以 x 12是极小值点 即当宽12米 长为24米时 用料最少 4 2函数的极值与最值 4 3曲线的凹凸与拐点 4 3 1曲线的凹凸及其判别法 定义4 3若曲线弧位于其每一点切
8、线的上 下 方 则称曲线弧是凹 凸 的 第四章导数的应用 4 3曲线的凹凸与拐点 如果曲线是凹的 那么其切线的倾斜角随x的增大而增大 4 3曲线的凹凸与拐点 如果曲线是凸的 那么其切线的倾斜角随x的增大而减少 4 3曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的判定法设f x 在 a b 内具有二阶导数 1 如果在 a b 内有 则曲线在 a b 内是凹的 2 如果在 a b 内有 则曲线在 a b 内是凸的 4 3曲线的凹凸与拐点 4 3 2曲线的拐点 一般地连续曲线凹凸两段弧的分界点称为曲线的拐点 求连续曲线的拐点步骤如下 1 求出函数f x 的或不存在的点 2 在求出点的左 右两边 若异号 则该点就是拐点
9、 否则 就不是拐点 4 3曲线的凹凸与拐点 例6求曲线的凹向区间与拐点 解 拐点为和 4 3曲线的凹凸与拐点 4 3 3曲线的渐近线 若曲线y f x 上的动点P沿着曲线无限地远离原点时 点P与某直线L的距离趋于零 则L称为该曲线的渐近线 渐近线分为三类 水平渐近线 垂直渐近线 斜渐近线 4 3曲线的凹凸与拐点 1 垂直渐近线 若 则c是f x 的垂直渐近线 4 3曲线的凹凸与拐点 2 水平渐近线 则y b是f x 的水平渐近线 x 1为垂直渐近线 y 1为水平渐近线 4 3曲线的凹凸与拐点 4 3 4作函数图形的一般步骤 1 确定函数的定义域 间断点 2 确定函数的特性 如奇偶性 周期性等
10、3 求出函数的一二阶导数 确定极值点 拐点 4 确定曲线的渐近线 5 计算一些特殊点的坐标 6 间断点 极值点与拐点把定义域分为若干区间 列表说明这些区间上函数的增减性与凹凸性 7 作图 4 3曲线的凹凸与拐点 例6作出函数的图形 解 函数的定义域为 非奇非偶函数 没有渐近线 又x 3时一阶导数不存在 4 3曲线的凹凸与拐点 4 4洛比达法则 1 型未定式 法则1设函数f x 和g x 满足条件 第四章导数的应用 2 在点a的某个空心邻域内 存在 且 1 3 存在 或为 4 4洛比达法则 例7 2 型未定式 法则2设函数f x 和g x 满足条件 2 在点a的某个空心邻域内 存在 且 1 3
11、存在 或为 4 4洛比达法则 4 4洛比达法则 例8 4 5应用与实践 第四章导数的应用 4 4 1应用 1 边际分析 边际成本 边际收入 边际利润 4 5应用与实践 例9某糕点厂生产某种糕点的收入函数为 千元 成本函数为 千元 x的单位是百公斤 问应生产多少公斤糕点才不赔钱 解 利润函数 4 5应用与实践 边际利润 表明多生产可以提高总利润 当边际利润大于零时 仅表明总利润在递增 并不表明赚钱 4 5应用与实践 例10若某产品每天生产x单位时 总成本函数 元 销售单价为25元 设产品能全部售出 问每天生产多少单位时 才能获得最大利润 解 总收益函数 总利润函数 4 5应用与实践 由于L x
12、是单峰曲线 x 30就是L x 的最大值点 最大值为L 30 225 元 所以产量为30单位时 能获得最大利润225元 为获得最大利润 应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平 4 5应用与实践 例11设每月产量为x吨时 总成本函数 元 求 1 最低平均成本 2 相应产量的边际成本 解 1 平均成本函数为 4 5应用与实践 此时 所以AC最小 最小值为78 元 2 边际成本函数为 当产量为140吨时 边际成本为78 元 最低平均成本与相应产量的边际成本相等 4 5应用与实践 2 弹性分析 用需求弹性去分析总收益 或市场销售总额 的变化 总收益R是商品价格p与销售量Q的乘积 即R pQ 则 4
13、5应用与实践 例12设某商品的需求函数为Q 2 0 1p Q是需求量 p是价格 1 求需求弹性 2 讨论需求弹性的变化对总收益的影响 解 1 需求弹性为 4 5应用与实践 2 令 得p 10 当0 p 10时 低弹性 此时应采用提高价格的手段使总收益增加 当10 p 20时 高弹性 此时应采用降低价格的手段使总收益增加 4 5应用与实践 4 4 2在Mathematica中作图 在指定区间上按选项定义值画出函数在直角坐标系中的图形 其格式如下 Plot f x xmin xmax option value 在指定区间上按选项定义值同时画出多个函数在直角坐标系中的图形 其格式如下 Plot f1
14、 f2 f3 x xmin xmax option value 4 5应用与实践 例13描绘函数的图像 解 4 6拓展与提高 第四章导数的应用 1 用函数单调性的判定法证明不等式 例14试证 当x 0时 有x ln 1 x 4 6拓展与提高 2 利用极值判别法1和极值判别法2在判别极值为极大值还是极小值时 应注意以下原则 1 若较简单 则极值判别法2更方便些 反之 则应选用极值判别法1 2 若 则极值判别法2失效 须用极值判别法1判别 4 6拓展与提高 例15求函数的极值 解 此函数的定义域为 函数在x 1处导数等于零 在x 0 x 2处导数不存在 列表如下 4 6拓展与提高 3 斜渐近线 则
15、y ax b是f x 的斜渐近线 求函数的斜渐近线 就是要确定参数a b的值 可以推出 4 6拓展与提高 例16求函数的渐近线 解 x 0为曲线的垂直渐近线 y x为曲线的斜渐近线 4 6拓展与提高 4 其他常见未定式 均可以通过转化用洛比达法则计算 4 6拓展与提高 例17 4 6拓展与提高 5 利用洛比达法则求极限时的两点说明 1 应用洛比达法则后 若算式较繁须进行化简 若算式中有非未定式 应将其分离出来 此外用洛比达法则求极限时 要注意结合运用以前学过的方法 例18 4 6拓展与提高 2 若不存在或不可求 不能因此得出极限不存在的结论 出现这种情况 说明洛比达法则失效 这时需改用其它方法求极限 例19
