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1、精品资源备战高考高考数学选择填空题压轴专题专题4.3 立体几何的动态问题一方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等. 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类
2、动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二解题策略类型一 立体几何中动态问题中的角度问题例1.（2016四川高考）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】解法一：根据已知条件，三直线两两垂直，分别以这三直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：， ，
3、；在线段上，设， ；设，；函数是一次函数，且为减函数，；在恒成立，；在上单调递减；时，取到最大值故选：解法二：，当时取等号.所以，当时，取得最大值. 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.【举一反三】1（2020黑龙江牡丹江一中高三（理）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是
4、（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，设正方体棱长为1，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系则，所以在正方体中，可证平面，所以是平面的一个法向量所以所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值所以.故选A2（2020广东高考模拟）在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A B C D【答案】B【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，1，1，0，1，1，1，设平面的法向量y，则，取，得，平面，解得，设直线与直线AB所成角为，1，直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是3.（2020浙江台州中
5、学高三）如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，的平面角为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：建立空间直角坐标系，对动点O选取一个特殊位置，然后求出三个侧面的法向量，根据向量夹角的余弦值求得三个二面角的余弦值，比较后可得二面角的大小详解：建立如图所示的空间直角坐标系考虑点与点A重合时的情况设正方体的棱长为1，则设平面的一个法向量为，由，得，令，得同理可得平面和平面的法向量分别为结合图形可得：，又，故选D类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例2】（2020山西高三）设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点
6、P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）ABC1D【答案】A【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直，所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且，与平行交于点，过点作垂直于点，同上有：，且有，又因为，故，而，故，而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，点到点的最短距离是点到直线的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ， ，点到点的最短距离：故选：【指点迷津】求两点
7、间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.【举一反三】1（2020四川高三（理）已知三棱锥中，且、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】三棱锥，满足两两垂直，且
8、，如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，设平面的法向量，则，取，得，三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球上一动点，由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，点到平面的距离最大，点到平面的距离的最大值为.故选C.2.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A21 B22 C23 D25【答案】B【解析】在上取点，使得，则面，连结，则在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标
9、为，设，则（其中，当时，故 3（2020广西柳州市模考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）A当A1C=3A1P时，D1P平面BDC1B当P为A1C中点时，四棱锥P-AA1D1D的外接球表面为94CAP+PD1的最小值为6D当A1P=33时，A1P平面D1AP【答案】C【解析】对于A，连结AB1，B1D，AD1，则VA-A1B1D1=13121=16，SAB1D1=1222sin60=32，A1C=3，设A1到平面AB1D1的距离为h，则1332h=16，解得h=33，h=13A1C.当A1C=3A1P时，P为
10、A1C与平面AB1D1的交点平面AB1D1平面BDC1，D1P平面AB1D1，D1P平面BDC1，故A正确又由以上分析可得，当A1P=33时，A1P即为三棱锥A1-D1AP的高，A1P平面D1AP，所以D正确对于B，当P为A1C中点时，四棱锥P-AA1D1D为正四棱锥，设平面AA1D1D的中心为O，四棱锥P-AA1D1D的外接球为R，所以(R-12)2+(22)2=R2，解得R=34，故四棱锥P-AA1D1D的外接球表面积为94，所以B正确对于C，连结AC，D1C，则RtA1ACRtA1D1C，AP=D1P，由等面积法得AP的最小值为AA1ACA1C=63，AP+PD1的最小值为263所以C不
11、正确故选：C.类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】（2020河南高三（理）在棱长为3的正方体中，E是的中点，P是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为（均不为0），若，则三棱锥体积的最小值是（ ）ABCD【答案】C【解析】建系如图，正方体的边长为3，则，0，0，设，则，0， ，即，代入数据，得：，整理得：，变形，得：，即动点的轨迹为圆的一部分，过点作，交于点，则为三棱锥的高点到直线的距离的最大值是2则，故选：【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.【举一反三】1.（2020四
12、川高三期末）长方体中，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】首先根据得到，所以的轨迹是以为焦点 的椭圆，再根据椭圆的几何性质可得到四棱锥的高的最值，即可得到体积的范围.【详解】如图所示：在中，在中，因为，所以.因为，所以点的轨迹是以为焦点 的椭圆.如下图所示：，椭圆的标准方程为：.联立，解得：.所以，.当点运动到位置时，此时四棱锥的高最长，所以.当点运动到或位置时，此时四棱锥的高最短，所以.综上所述：.2.在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A. 36 B. C. 24
13、D. 【答案】B3（2020重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：异面直线与间的距离为定值；三棱锥的体积为定值；异面直线与直线所成的角为定值；二面角的大小为定值其中真命题有( )A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】对于，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值故正确对于，由于，而为定值，又PAD1，AD1平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值故正确对于，由题意得在正方体中，B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，故这两条异面直线所成的角为故正确；对
14、于，因为二面角PBC1D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值故正确综上正确选D类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角，且，则点在平面内的轨迹是（ ）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.一条直线D.两条直线【答案】A【解析】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则， ，即，整理得：，故点的轨迹是圆的一部分，故选.【指点迷津】空间轨迹问题的求解策略：1.利用侧面展开或展到一个平面上寻求轨迹；2.利用圆锥曲线定义求轨迹；3.这辗转过程中动点的轨迹；4.利用函数观点探求轨迹
