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1、22 04 2020 1 第四章格林函数法 分离变量法主要适用于求解各种有界问题 而 傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题 这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和 无穷积分的形式 格林函数法给出的解则是有 限的积分形式 十分便于理论分析和研究 22 04 2020 2 格林函数又称为点源函数或影响函数 顾名思 义 它表示一个点源在一定的边界条件和 或 初值条 件下所产生的场或影响 由于任意分布的源所产生的 场均可看成许许多多点源产生的场的叠加 因此格林 函数一旦求出 就可算出任意源的场 格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程 既可以研究常微 分方程 又可以研究偏微分方程 既可以研究
2、齐次方 程又可以研究非齐次方程 既可以研究有界问题 又 可以研究无界问题 它的内容十分丰富 应用极其广 泛 这一章 我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯 方程的边值问题 22 04 2020 3 4 1格林公式及其应用 4 1 1基本解 对拉普拉斯方程 其球坐标形式为 4 1 1 求方程 4 1 1 的球对称解 即与 和 无关的解 则有 其通解为 为任意常数 若取 则得到特解 称此解为三维Laplace 方程的基本解 它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用 22 04 2020 4 对二维拉普拉斯方程 其极坐标形式为 4 1 2 求方程 4 1 2 的径向对称解 即与 无关的解 则有 其通解为
3、 为任意常数 若取 则得到特解 称此解为二维 Laplace方程的基本解 22 04 2020 5 4 1 2格林公式 由高斯公式 则得到格林第一公式 令 将以上两公式相减 得到格林第二公式 调和函数 具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数 22 04 2020 6 4 1 3调和函数的积分表达式 由Green公式可导出调和函数的积分表示 由于函数 除在 点外处处满足三维Laplace方程 于是有 定理 若函数 在 上有一阶连续偏导数 且在 内调和 则 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示 22 04 2020 7 若函数 在 上
4、有一阶连续偏导数 且在 内满足Poisson方程 则同样有 4 1 4调和函数的性质 性质1 设 是区域 内的调和函数 它在 上有一阶连续偏导数 则 其中 的外法线方向 是 证明只要在Green公式中取即证 注 此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零 对稳定的温度场 流入和流出物体界面的热量相等 否则就不能保持热的动态平衡 而使温度场不稳定 22 04 2020 8 思考 Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么 性质2 平均值定理 设函数 在区域 内调和 是 内任意一点 若 是以 为中心 a为半径 的球面 此球完全落在区域 的内部 则有 证明 由调和函数的积分表示
5、及由性质1 有 22 04 2020 9 上式称为调和函数的球面平均值公式 又因为 在 上有 所以 性质3 极值原理 设函数 在区域 内调和 它在 上连续且不为常数 则它的最大值与最小值 只能在边界上达到 推论1设在 内有 在 上连续且在边界 上有 则在 内有 推论2Dirichlet问题 的解是唯一的 22 04 2020 10 22 04 2020 11 22 04 2020 12 4 2格林函数 由于调和函数有积分表示 又因为Dirichlet边值问题 的解唯一 故希望 将此问题的解用积分表示出来 但由于在积分表达示中 u 在边界上的值虽然已知 而 在边界上的值却不知道 那么 能否作为边
6、界条件加上的值呢 因为 此时的解已经是唯一的了 那么只有想办法去掉 为此 引入格林函数的概念 显然这是行不通的 4 2 1 22 04 2020 13 格林函数的物理背景 原点处点电荷电量 点电荷密度 处点电位 即处点电荷电量 点电荷密度 处点电位 22 04 2020 14 4 2 1格林函数的定义 设在 内有 在 上有一阶连续 偏导数 则由格林第二公式有 4 2 2 将 4 2 1 和 4 2 2 两式加起来 4 2 3 选择调和函数v满足 于是有 4 2 4 22 04 2020 15 记 4 2 5 则有 4 2 6 称 为Laplace方程的格林函数 若 上有一阶连续偏导数 则当Di
7、richlet问题 且在 上具有一阶连续偏导数的解存在时 解可以表示为 在 4 2 7 存在 22 04 2020 16 对Poisson方程的Dirichlet问题 上存在具有一阶连续偏导数的解 则解可以 如果在 表示为 由此可见 求解Dirichlet问题 关键是求Green函数 4 2 5 其中v满足一个特殊的Dirichlet问题 4 2 8 称由函数v确定的格林函数为第一边值问题的格林函数 22 04 2020 17 4 2 2格林函数的性质 1 格林函数 在除去点 外处处满足 Laplace方程 当 时 其阶数与相同 2 在边界上 格林函数恒等于零 3 在区域内成立不等式 用极值原
8、理证明 4 由格林第二公式证明 5 22 04 2020 18 4 3格林函数的应用 用镜象法求特殊区域上的函数 4 3 1上半空间内的Green函数及Dirichlet问题 求解上半空间 内的Dirichlet问题 先求上半空间 内的Green函数 4 3 1 即求解问题 22 04 2020 19 在区域外找出区域内一点关于边界的象点 在这两个点放置适当的电荷 这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消 这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数 22 04 2020 20 于是 半空间上的格林函数为 4 3 2 从而 问题 4 3 1 的解可表示为 由于平面z 0上的外法线方向即oz
9、轴的负向 所以 即 所以 问题 4 3 1 的解为 22 04 2020 21 例2求解下列定解问题 解 22 04 2020 22 4 3 2球域上的Green函数及Dirichlet问题 其中 4 3 3 即求解问题 求解球域上的Dirichlet问题 是以坐标原点O为球心 R为半径的球域 先求球域上的Green函数 22 04 2020 23 22 04 2020 24 球内的格林函数 M0点处点电荷电量 M1点处点电荷电量 22 04 2020 25 22 04 2020 26 从而 问题 4 3 3 的解可表示为 因 其中 是 与 的夹角 于是 4 3 4 此公式称为球域上的泊松积分
10、公式 如果用球坐标表示 则有 4 3 5 其中 是点 的球坐标 是 上动点的坐标 22 04 2020 27 是 与 的夹角 由于 所以 4 3 6 22 04 2020 28 例1 设有一半径为R的均匀球 上半球面的温度保持为 求球内温度的稳定分布 下半球面的温度保持为 解 考虑定解问题 由球域上的泊松积分公式 4 3 5 得 22 04 2020 29 由于此积分的计算很困难 下面我们只考虑一些特殊位置的 温度分布 比如 求温度在球的铅垂直径 直径的上 半部 和 直径的下半部分 上的分布 当 时 见 4 3 6 式 故有 22 04 2020 30 当 时 故有 在以上两个公式中 当 时
11、球的温度为 22 04 2020 31 4 3 3四分之一空间的格林函数 22 04 2020 32 4 4试探法及Poisson方程的求解 4 4 1试探法 对某些定解问题 根据问题的物理意义和几何特征 可假设解具有某种特殊形式 将这种形式的解代入方程进行试探直至求出特解 这种方法称为试探法 22 04 2020 33 例1 设有一半径为R的无限均匀圆柱体 已知圆柱内无热源 圆柱 面上的温度分布为 试求圆柱内温度的稳定分布 解 因柱面上温度与z无关 则域内温度也应与z无关 故原问题 可简化为求解圆域上Laplace方程的第一边值问题 采用极坐标 我们考虑问题 由 4 4 2 设 4 4 1
12、得 代入 再由 4 4 2 得 由 的任意性得 22 04 2020 34 例2求圆柱域 内的电位u 使在柱面上有给定的电场强度 的法向分量 即 解 由边界条件知 问题可化为平面问题 由边界条件 4 4 4 设 显然 满足方程 4 4 3 及条件 4 4 4 于是问题的解为 22 04 2020 35 例3求由两同心球面导体 和 构成的电容器内 的电位 使内球面 保持常电位 外球面接地 解 采用球坐标 考虑定解问题 由边界条件知 球内电位的分布仅与r有关 即电位函数是球对称的 而电位与r成反比 故可设 22 04 2020 36 显然 满足 4 4 5 这是因为 是三维Laplace方程 的基
13、本解 由 4 4 6 于是 4 4 5 4 4 6 的解为 22 04 2020 37 如果知道Poisson方程的一个特解 则通过函数代换 4 4 2Poisson方程的求解 就可将Poisson方程边值问题化成Laplace方程的边值问题 例1求 的特解 解 设其特解为 则 于是 其解有无穷多个 如 等等 22 04 2020 38 例2求下列问题的解 解 显然方程有一个特解 故令 则 由极值原理 上述问题的解为 故原问题的解为 22 04 2020 39 4 4 3Dirichlet外问题与Neumann外问题简介 Dirichlet内问题 Dirichlet外问题 Neumann内问题 Neumann外问题 由于外问题在无穷区域上提出 需附加条件 其中 从数学角度来讲 此条件 可以保证外问题的解是唯一的
