《（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质课件 文（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节直线 平面垂直的判定与性质 总纲目录 教材研读 1 直线与平面垂直 考点突破 2 直线与平面所成的角 3 二面角的有关概念 考点二面面垂直的判定与性质 考点一直线与平面垂直的判定与性质 4 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 考点三平行与垂直的综合问题 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义直线l与平面 内的 任意一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 教材研读 2 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 与 直线与平面垂直 有关的结论 1 直线与平面垂直的定义常常逆用 即a b a b 2 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于该平面 3 垂直于同一条直线的两个平
2、面平行 4 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 就说它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 就说它们所成的角是0 的角 如图所示 PAO就是斜线AP与平面 所成的角 2 线面角 的范围 3 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 4 平面与平面
3、垂直的判定定理与性质定理 1 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两个平面互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 那么这条直线垂直于这个平面 其中真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 答案B 正确 B 2 2015北京延庆期末 已知直线m n是异面直线 则过直线n且与直线m垂直的平面 A 有且只有一个B 至多有一个C 有一个或无数个D 不存在 答案B若m n 则过直线n存在一个平面与m垂直 若m不垂直于n 则不存在这样的平面 故选B B 3 2016北京朝阳期末 已知m n表示两
4、条不同的直线 表示两个不同的平面 且m n 则下列说法正确的是 A 若 则m nB 若m 则 C 若m 则 D 若 则m n 答案B对于A 两个平行平面内的直线可能平行 可能异面 B正确 对于C 当m平行于平面 的交线时 也有m 但平面 与平面 相交 对于D m与n也可能平行 斜交或异面 B 4 2015北京丰台期末 设a b c是三条不同的直线 是两个不同的平面 则a b的一个充分条件为 A a c b cB a b C a b D a b 答案C对于选项A 若a c b c 则直线a与b可能异面 可能平行 也可能相交 对于选项B 若 a b 则直线a与b可能异面 可能平行 也可能相交 对于
5、选项C 若a b 则a b 对于选项D 若a b 则根据线面垂直的性质定理可知a b 故选C C 考点一直线与平面垂直的判定与性质 考点突破 典例1如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 证明 CD AE 2 证明 PD 平面ABE 方法技巧 1 证明直线和平面垂直的常用方法 利用判定定理 利用面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证明线线垂直 而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 1 1 2016北京丰台一模 已知在 ABC中 B 90 D E
6、分别为边BC AC的中点 将 CDE沿DE翻折后 使之成为四棱锥C ABDE 如图 1 求证 DE 平面BC D 2 设平面C DE 平面ABC l 求证 AB l 3 若C D BD AB 2 BD 3 F为棱BC 上一点 设 当 为何值时 三棱锥C ADF的体积是1 解析 1 证明 B 90 D E分别为BC AC的中点 DE AB C D DE BD DE 又 C D BD D DE 平面BC D 2 证明 DE AB DE 平面C DE AB 平面C DE AB 平面C DE 又 AB 平面ABC 平面ABC 平面C DE l AB l 3 C D BD C D DE ED BD D
7、C D 平面BDE S C DF S BC D 又 BD 3 AB 2 VC ADF 1 VC ADF VA C DF VA C DB VC ADB C D S ADB 1 解得 2 典例2如图 四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 1 求证 CE 平面PAD 2 求证 平面EFG 平面EMN 考点二面面垂直的判定与性质 又AB CD CD AB 所以EH CD EH CD 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CE DH 又DH 平面PAD CE 平面PAD 因此 CE 平面PAD 方法指导证明面面垂
8、直的思路 1 利用面面垂直的定义 不常用 2 可以考虑证线面垂直 即设法先找到其中一个平面的一条垂线 再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行 一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线 若图中存在这样的直线 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若图中不存在这样的直线 则可通过作辅助线来解决 常用方法 2 1如图 四边形ABCD为菱形 G为AC与BD的交点 BE 平面ABCD 1 证明 平面AEC 平面BED 2 若 ABC 120 AE EC 三棱锥E ACD的体积为 求该三棱锥的侧面积 解析 1 证明 因为四边形ABCD为菱形 所以AC BD 因为BE 平面ABCD 所以AC B
9、E 又BD BE B 故AC 平面BED 又AC 平面AEC 所以平面AEC 平面BED 2 设AB x 在菱形ABCD中 由 ABC 120 可得AG GC x GB GD 因为AE EC 所以在Rt AEC中 可得EG x 由BE 平面ABCD 知 EBG为直角三角形 可得BE x 由已知得 三棱锥E ACD的体积VE ACD AC GD BE x3 解得x 2 从而可得AE EC ED 所以 EAC的面积为3 EAD的面积与 ECD的面积均为 故三棱锥E ACD的侧面积为3 2 典例3 2017北京海淀一模 已知四棱锥P ABCD中 底面ABCD为正方形 PA 平面ABCD PA AB
10、2 E F分别是PB PD的中点 1 求证 PB 平面FAC 2 求三棱锥P EAD的体积 3 求证 平面EAD 平面FAC 考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明 解析 1 证明 连接BD 与AC交于点O 连接OF 在 PBD中 O F分别是BD PD的中点 所以OF PB 又因为OF 平面FAC PB 平面FAC 所以PB 平面FAC 2 因为PA 平面ABCD AB AD 平面ABCD 所以PA AB PA AD 又因为AB AD PA AB A 所以AD 平面PAB 在直角 PAB中 PA AB 2 E为PB的中点 所以S PAE 1 所以VP EAD VD PAE
11、S PAE AD 3 证明 因为AD 平面PAB PB 平面PAB 所以AD PB 在等腰直角 PAB中 AE PB 又AE AD A AE AD 平面EAD 所以PB 平面EAD 又OF PB 所以OF 平面EAD 又OF 平面FAC 所以平面EAD 平面FAC 命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题 典例4 2018北京东城期末 如图 在四棱锥P ABCD中 PAD是等边三角形 E为AD中点 四边形ABCD为直角梯形 AB CD AB AD AB AP CD AD 2AB 2 1 求证 平面PAB 平面PAD 2 求四棱锥P ABCD的体积 3 在棱PB上是否存在点M 使得EM 平面PCD
12、 说明理由 解析 1 证明 因为AB AD AB AP AD AP A 所以AB 平面PAD 因为AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 连接PE 因为 PAD为等边三角形 E为AD中点 所以PE AD 因为AB 平面PAD 所以AB PE 因为AB AD A 所以PE 平面ABCD 在等边 PAD中 PE PA sin60 S梯形ABCD 3 所以VP ABCD S梯形ABCD PE 3 3 棱PB上存在点M 使得EM 平面PCD 此时点M为PB中点 取BC中点F 连接MF ME EF 因为E为AD中点 所以EF CD 因为EF 平面PCD 所以EF 平面PCD 因为M为PB中点
13、所以MF PC 因为MF 平面PCD 所以MF 平面PCD 因为MF EF F 所以平面MEF 平面PCD 因为ME 平面MEF 所以ME 平面PCD 命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题典例5 2016北京海淀二模 已知长方形ABCD中 AD AB 2 E为AB的中点 将 ADE沿DE折起到 PDE 所得四棱锥P BCDE如图所示 1 若点M为PC的中点 求证 BM 平面PDE 2 当平面PDE 平面BCDE时 求四棱锥P BCDE的体积 3 求证 DE PC 解析 1 证明 取DP的中点F 连接EF FM 因为在 PDC中 点F M分别是DP PC的中点 所以FM DC 且FM DC 又E
14、B DC 所以FM EB 所以四边形FEBM是平行四边形 所以BM EF 又EF 平面PDE BM 平面PDE 所以BM 平面PDE 2 在 PDE中 作PO DE于O 因为平面PDE 平面EBCD 平面PDE 平面EBCD DE 所以PO 平面EBCD 在 PDE中 DP PE PD PE 1 则DE 所以PO 所以VP BCDE 1 2 3 证明 在矩形ABCD中 连接AC交DE于I 因为tan DEA tan CAB 所以 DEA CAB 所以DE AC 所以在四棱锥P EBCD中 PI DE CI DE 又PI CI I 所以DE 平面PIC 因为PC 平面PIC 所以DE PC 方法
15、技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略 1 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明 探索点存在问题 点多为中点或三等分点中的某一个 也可以根据相似知识建点 2 解决此类问题的关键是结合图形 弄清折叠前后变与不变的数量关系及位置关系 3 1 2017北京丰台一模 如图1 平行四边形ABCD中 AC BC BC AC 1 现将 DAC沿AC折起 得到三棱锥D ABC 如图2 且DA BC 点E为侧棱DC的中点 1 求证 平面ABE 平面DBC 2 求三棱锥E ABC的体积 3 在 ACB的平分线上是否存在点F 使得DF 平面ABE 若存在 求DF的长 若不存在 请说明理由 解析 1 证明
16、 在平行四边形ABCD中 AD BC AC AD BC 因为AC BC 所以 DAC 90 因为E为侧棱DC的中点 所以AE CD 又因为AC BC AD BC 且AC AD A 所以BC 平面ACD 又因为AE 平面ACD 所以AE BC 因为BC CD C 所以AE 平面BCD 又因为AE 平面ABE 所以平面ABE 平面BCD 2 因为VE ABC VB ACE BC 平面ACD 所以BC是三棱锥B ACE的高 故VB ACE BC S ACE 因为BC 1 CD AE 所以S ACE AE CD 所以VE ABC VB ACE 1 3 取AB的中点O 连接CO并延长至点F 使CO OF 连接AF DF BF OE 因为BC AC 所以CO是 ACB的平分线 又因为点E是CD的中点 所以OE DF 因为OE 平面ABE DF 平面ABE 所以DF 平面ABE 因为AB FC互相平分 所以四边形ACBF为平行四边形 BC AF 又因为DA BC 所以AF AD 又因为AF AD 1 故DF
