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1、 1 习 题 一 A 求下列复数z的实部与虚部 共轭复数 模与辐角 1 i i i 1 31 2 2 21 43 i i 解 1 z i i i 1 31 22 11 1 3 ii i 2 33i i i 2 5 2 3 则 2 3 Re z 2 5 Im z iz 2 5 2 3 2 34 2 5 2 3 22 z 3 5 arctan arg z 2 z 2 21 43 i i 2 22 21 21 43 ii 2 5 105 i 2 21 i i 43 则 3Re z 4Im z iz43 5 4 3 22 z 3 4 arctan argz 当x y等于什么实数时 等式 i i yix
2、 1 35 3 1 成立 解 原式等价于 35 1 3 1iiyix 即 iyix52 3 1 根据复数相等的概念 有 2 83 21 y x 即 11 1 y x 将下列复数化为三角式和指数式 1 i 5 2 1 3 31i 4 i i 1 1 解 1 这里0 x 5 y 则 5 5 0 22 z 从而有0cos 1sin 得 2 arg z 则三角式与指数式分别为 2 sin 2 cos 5 iz i ez 2 5 2 这里1 x 0 y 则 1 0 1 22 z 从而有1cos 0sin 得 zarg 则三角式与指数式分别为 sin cos iz i ez 3 这里1 x 3 y 则 2
3、 3 1 22 z 从而有 2 1 cos 2 3 sin 得 3 arg z 则三角式与指数式分别为 3 sin 3 cos 2 iz 3 i ez 3 2 4 i i 1 1 2 2 11 1 22 2 ii i 这里0 x 1 y 则 1 1 0 22 z 从而有0cos 1sin 得 2 arg z 则三角式与指数式分别为 2 sin 2 cos iz i ez 2 4 求下列各式的值 1 10 31 i 2 3 27 解 1 因为 2 3 2 1 231ii 3 2 sin 3 2 cos2 i 所以 10 31 i 3 20 sin 3 20 cos210 i 3 2 sin 3
4、2 cos1024 i i 3512512 2 因为 sin cos 2727 i 所以 3 27 3 2 cos 3 2 cos 27 3 k i k 2 1 0 k 4 3 2 cos 3 2 cos 3 k i k 2 1 0 k 5 指出下列各题中点z的轨迹或所在范围 并作图 1 532 iz 2 12 iz 3 1 2Re z 4 3 Re z i 5 122 zz 6 413 zz 7 Im2z 8 zarg0 解 1 设iyxz 则由532 iz得 5 3 2 yix 即25 3 2 22 yx 点z的轨迹表示以iz32 为圆心 以5为半径的圆周 2 设iyxz 则由12 iz得
5、1 2 yix 即1 2 22 yx 点z的轨迹表示以iz2 为圆心 以1为半径的圆的外面 3 设iyxz 由1 2Re z得 12 x 即3 x 点z的轨迹表示3 x这条直线 4 设iyxz 则ixyiyxiz i 由3 Re z i得 3 y 点z的轨迹表示3 y这条直线 5 设iyxz 由122 zz 得 5 iyxiyx 1 2 2 即 1 4 2 2222 yxyx 化简得4 2 22 yx 点z的轨迹表示以2 z为圆心 以2为半径的圆周 6 设iyxz 由413 zz 得iyxiyx 1 3 即4 1 3 2222 yxyx 化简得1 34 2 22 yx 点z的轨迹表示以2 z为
6、中心 以4为长轴 以32为短轴的 椭圆 7 设iyxz 由2 Im z得2 y 点z的轨迹表示2 y的半平面 8 设iyxz 又1 2 3 z z 得1 2 3 iyx iyx 则 2222 2 3 yxyx 化简得 2 5 x 点z的轨迹表示 2 5 x的半平面 6 函数 z 1 把下列z平面上的曲线映射成 平面上怎样的曲线 6 1 4 22 yx 2 xy 3 1 x 4 1 1 22 yx 解 2222 1 yx y i yx x z 则 22 yx x u 22 yx y v 得 1 4 1 22 vu 是 平面上一圆周 2 vu 是 平面上一直线 3 2 1 1 y u 2 1y y
7、 v 消去参数y 得uvu 22 即 4 1 2 1 22 vu 是 平面上一圆周 4 由1 1 22 yx得xyx2 22 即 2 1 u 是 平面上平 行v轴直线 7 已知映射 3 z 求 1 点iz 1 iz 1 2 iz 3 3 在 平面上的像 2 区域 3 arg0 z在 平面上的像 解 设 i rez 则 333i erz 1 iz 1 2 i e iz 1 2 4 sin 4 cos2 i iz 3 3 6 sin 6 cos2 i 则 iz 3 11 iez i 22 2 4 3 33 22 7 iez i 82 2 33 33 2 因为辐角张大三倍 所以像为 zarg0 8
8、下列函数在何处可导 在何处解析 1 iyxzf 2 2 sin cos xixezf y 3 yixxyzf 22 4 yxiyxzfsinhcoscoshsin 解 1 因iyxzf 2 即 2 xu yv 而x x u 2 1 y v 0 y u 0 x v 在复平面处处连续 但仅 当 2 1 x时 才满足RC 方程 故 zf仅在直线 2 1 x上可导 在 复平面上处处不解析 2 因 sin cos xixezf y 即 xeu y cos xev y sin 而 xe x u y sin xe y v y sin xe y u y cos xe x v y cos 在复平面处处连续 且处
9、处满足RC 方程 故 zf在复平面上处处 可导 处处解析 3 因yixxyzf 22 即 2 xyu yxv 2 而 2 y x u 2 x y v xy y u 2 xy x v 2 在复平面处处连续 8 但只在 0 0 点满足RC 方程 故 zf在 0 0 处可导 在复平面上 处处不解析 4 因yxiyxzfsinhcoscoshsin 即 yxucoshsin yxvsinhcos 而 yx x u coshcos yx y v coshcos yy y u sinhsin yx x v sinhsin 在复平面处处连续 且处处满足RC 方程 故 zf在复平面上处处 可导 处处解析 9
10、指出下列函数的解析性区域 并求出其导数 1 3 2f zziz 2 3223 3 3 f zxxyx yy i 3 2 1 1 f z z 4 azb f z czd c d至少有一个不为零 解 1 因为izzf23 2 所以 zf在复平面内处处解析 2 因为iyyxxyxzf 3 3 3223 即 23 3xyxu 32 3yyxv 而 22 33yx x u 22 33yx y v xy y u 6 xy x v 6 在 9 复平面内处处连续 且处处满足RC 方程 故 zf在复平面上处处 可导 处处解析 3 因为 22 1 2 z z zf在1 z点无意义 所以 zf除 1 z点外 在复平
11、面上处处解析 4 若0 c 而0 d 则有 d a baz d zf 1 在复平面上处处解析 若0 c 且 d c z 则有 2 dcz bcad dcz baz zf 则除点 d c z 外 在复平面上 处处解析 10 下列复函数在点0 z处解析的是 1 0 0 0 1 1 22 33 iyxz iyxz yx iyix zf 2 z ezf 3 2 zzf 4 2 22 0 0 0 x y z f zxy z 解 1 考察极限 z fzf z 0 lim 0 当z沿虚轴0 0 x时 有 10 iy fiyf y 0 lim 0 i iy iy y 1 1 lim 3 3 0 当z沿直线0
12、xy时 有 ixx ixxf xy 0 lim 0 2 33 0 2 1 1 lim xixx ixix x 22 1 1 i i i 从而 z fzf z 0 lim 0 不存在 则函数 zf在0 z不可导 即不解 析 2 z ezf 所以 zf在复平面内处处解析 3 设iyxz 则 22 2 yxzzf 即 22 yxu 0 v 而x x u 2 0 y v y y u 2 0 x v 在复平面上连续 但只在 0 0 点满足RC 方程 所以 zf在复平面内处处不解析 4 考察极限 z fzf z 0 lim 0 当z沿直线0 kxy时 有 z fzf z 0 lim 0 ikxx kx k
13、xx x 0 1 lim 22 2 0 1 1 2 kik k 当0 k时 0 0 lim 0 z fzf z 当1 k时 1 2 1 0 lim 0 iz fzf z 11 从而 z fzf z 0 lim 0 不存在 则函数 zf在0 z不可导 即不解 析 11 求下列函数的奇点 1 1 1 2 zz z 2 1 1 3 22 zz z 解 1 当0 1 2 zz时 izz 0 即 izz 0为函数 1 1 2 zz z 的奇点 2 当0 1 1 22 zz时 izz 1 即 izz 1为函数 1 1 3 22 zz z 的奇点 12 计算 1 Im exp exp i 2 1Re sin
14、 i 解 1 1sin1cos exp ii 1sin sin 1 cos sin 1sin1exp cos exp exp 1cos ieii 则 1sin sin Im exp exp 1cos ei 2 i ee i ee i iiiiii 22 1sin 11 1 1 i ieie 2 1sin1 cos 1sin1 cos 1 12 1cosh1sin1cos1sinh 1 2 1sin1cos 11 i ii eeiee 1sinh1coscosh1sini 13 计算 1 43 iLn 43ln i 2 设 z ei 1 求zIm 3 i i 1 4 设 zi ei 求zRe 5
15、 Re 1ln i i 6 设iyxz 求 Re 1 z e 解 1 43arg 43ln 43ln iiii 4 ln5 arctan 3 i 则 43 iLn 4 ln5 21 arctan 3 ik 2 1 0 k 2 1arg 1ln 1ln iiii 4 2ln i 1 iLn 4 2 2ln ki 2 1 0 k 则 zIm 4 2 k 2 1 0 k 3 1 1 iiLni ei 而 4 2 2ln 1 kiiLn 2 1 0 k 则 4 2 2 ln 1 kii i ei 2ln 2 1 4 2 ik e 13 2 2ln sin 2 2ln cos 4 2 ie k 2 1
16、0 k 4 iiiz i lnln 而 2 2 2 2 lnln kikiii 2 1 0 k 则 2 2 ln kiiz 2 1 0 k 即 2 2 Re kz 2 1 0 k 5 iii ei ln 1ln 1ln 而 4 2 2 2ln 1ln kii 2 1 0 k 2 2 2 2 lnln jijiii 2 1 0 j 则 2 2 4 2 2 2ln ln 1ln jikiii 2 2 2 2ln 2 2 4 2 jijk 则 iii ei ln 1ln 1ln 2 2 2 2ln sin 2 2 2 2ln cos 2 2 4 2 jije jk 即 Re 1ln i i 2 2 2 2ln cos 2 2 4 2 je jk 2 1 0 ji 6 22 11 yx iyx iyxz 14 则 222 2 1 yx y i yx x z ee sin cos 2222 22 yx y i yx y e yx x 即 22 1 cos Re 22 yx y ee yx x z
