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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第卷和第卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3. 第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用
2、涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式,其中R是球的半径.球的表面积公式：,其中R是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .如果事件互斥，那么.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】解得，则，故选A。 (2)复数(为虚数单位)在复平面
3、内对应的点所在象限为( D ) （A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D. (3)若点在函数的图象上，则的值为( D )（A）0 (B) (C) 1 (D) 【解析】由题意知:,解得=2,所以,故选D.4.不等式的解集为（ ）A B。 C. D。【答案】D【解析】法一：零点分段讨论（略）；法二：由不等式的几何意义，不等式表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确。 (5)对于函数，“的图象关于轴对称” 是“是奇函数”的 ( B )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条
4、件(C) 充要条件 (D)既不充分又不必要条件【解析】由奇函数定义,容易得选项B正确. (6)若函数 (0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则( C ) (A)8 (B)2 (C) (D) 【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以,. 故选C.7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( B )(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【解析】由表可计算,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为
5、 令x=6得65.5,选B. (8)已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为( A ) (A) (B) (C) (D) 【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A. (9)函数的图象大致是 ( C )【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.(10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为( B )(A)6 (B)7
6、(C)8 (D)9【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,故函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为7个,选B(11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是 ( A )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以. (12)设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，且, 则称调和分割已知点调和分割点则下面说法正确的是( D )(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可
7、能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】由，,知四点，在同一条直线上因为调和分割点,所以四点在同一直线上, 且, 故选D.第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 (13)执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是68【解析】第一次计算得出y=278,第二次得新的y=173; 第三次得新的y=68105, 输出(14)若展开式的常数项为则常数的值为4 【解析】因为,所以, 常数项为 60,解得. (15)设函数，观察：；根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， 【解析】观察知:四
8、个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.（16）已知函数当2a3b4时，函数的零点 2【解析】,由零点判定定理知，三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为. 已知（I）求的值；（II）若，求的面积【解析】（）由正弦定理得所以=,即,化简可得 又所以,因此 （）由（）知: , 即由余弦定理得：，及, 得, 解得从而 又因为且所以，故的面积为（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为假设各盘比赛结果相互独立（I）求红队至
9、少两名队员获胜的概率；（II）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望解:（）设甲胜A为事件, 乙胜B为事件, 丙胜C为事件, 则分别表示甲不胜A, 乙胜不B, 丙不胜C的事件红队至少两名队员获胜的事件有由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两名队员获胜的概率为.（）由题意知可能的取值为0,1,2,3,则 +所以的分布列为:0123P0.10.350.40.15数学期望.（19）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是平行四边形， ,平面，（）若是线段的中点，求证：平面；（）若，求二面角的大小 （)证明：因为所以由于因此连接由于,在中,是线段的中点,则
10、,且，因此,且，所以四边形为平行四边形，因此又平面,因为平面,所以平面（）解：因为所以又平面，所以两两垂直分别以所在直线为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设则由题意得所以 又, 所以设平面的法向量为，则,所以取，得，所以设平面的法向量为，则,所以取，得，则所以因此二面角的大小为（20）（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列K第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和解：（）当时，不合题意；当时，不合题意；当时，且当时，符合题意因此 因为是等比数列,
11、所以公比所以数列的通项公式.（）因为 ,所以.所以，当为偶数时，当为奇数时，综上所述，（21）（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的解：（）设容器的容积为 由题意知 ，又，所以，解得由于因此 所以建造费用，因此 ， 定义域为.（）由（）得 ，由于当时，令，则所以 (1)当，即
12、时，当时，；当时，所以是函数的极小值点，也是最小值点(2)当，即时，当时，,函数单调递减所以是函数的最小值点综上所述，当时，建造费用最小时的；当时，建造费用最小时的（22）（本小题满分14分）已知动直线与椭圆交于两不同点，且的面积, 其中为坐标原点（）证明：和均为定值； （）设线段的中点为,求的最大值；（）椭圆上是否存在三点,使得?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由（）解：（1）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称， 所以 ，在椭圆上， 又 由得 此时,（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知，将其代入得，其中， 即 又 所以 因为点到直线的距离为所以又 整理得 ，且符合式此时 综上所述，,，结论成立（）解法一： (1 )当直线的斜率不存在时，由（）知 ,因此 （2）当直线的斜率存在时，由（）： ,所以所以，当且仅当，即时，等号成立综合得的最大值为（）解法二：即，当且仅当时，等号成立因此的最大值为（）椭圆上不存在三点,使得证明：假设存在满足 由（）得 解得因此只能从中选取，只能从中选取因此只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆上不存在满足条件的三点13
