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1、离线考核组合数学（完整答案附后）满分100分一、计算题（每小题10分，共60分。）1、求的展开式中的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？2、求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得：（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分）（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分）4、在平面上,对任意自然数n,连接原点O与点用表示线段上除端点外的整点个数,试求5、解递推关系：。6、现有人手中有3张一元,2张2元和3张5元的钱币,问该人都能买价值为多少的物品？对每种价值的物品他有几种付款方法？ 二、
2、证明题（每小题20分，共40分。）1、证明： 。2、 证明：在任意给出的1998个自然数，中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。温馨提示：完整答案附后 复制下一页的答案到你的原卷离线考核组合数学满分100分一、计算题（每小题10分，共60分。）1、求的展开式中的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？答：在多项式的展开式中的项的系数是 =420.因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法数，所以不同项的个数为。2、 求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。解：设所求为N，令，以，分别表示中能被14和能被21整除的整数所
3、成之集，则 3、一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得：（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ （5分）（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？（5分）.解：记7个来宾为，则7个来宾取帽子的方法可看成是由，作成的全排列：如果（17）拿了的帽子，则把排在第位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数，即等于1854。（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由，作成的至少有一个元保位的全排列数，为 4、在平面上,对任意自然数n,连接原点O与点用表示线段上除端点外的整点个数,试求解 线段的方程为 .如果n与互素,则不定方程
4、不存在适合的整数解,即如果n与不互素,则n与只能有公因数3,即可以设.则通过解不定方程,有整数点位于线段之上,且中间仅有这二个整数点,即.所以 5、解递推关系：。解：特征方程为，特征根为，所以，其中，是待定常数，由初始条件得 解之得，所以 （）6、现有人手中有3张一元,2张2元和3张5元的钱币,问该人都能买价值为多少的物品？对每种价值的物品他有几种付款方法？ 解 令一元钱币对应的能买物品的形式幂级数为；2元钱币对应的能买物品的形式幂级数为；5元钱币对应的能买物品的形式幂级数为,则该人能买物品对应的形式幂级数为所以,该人可以买价值分别为0,1,2,21,22元的物品,并且付款的方法数分别为0,1
5、,2,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,3,2,3,2,2,2,1,1.二、证明题（每小题20分，共40分。）1、证明： 。证明 在牛顿定理中令,则有 (1)对上式两边的求微商,得到 .令t=1,我们就得到第一个结论. 如果我们对(1)式两边的进行次微商,则有.在上式两边同时除以r!,并令t=1,即可得到第二个结论.2、证明：在任意给出的1998个自然数，中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。证明：令，其中则，对任一个非负整数（01997），令 且除以1998所得余数为，则（，1，2，1997）且，如果，设是，则，由鸽笼原理的简单形式，必有正整数（11997），使得2，设和（）是中的两个元，则它们除以1998所得余数均为，从而能被1998整除，即能被1998整除。注：更多东师在线、离线作业关注V信：weimingjiaxc奥鹏作业奥鹏作业奥鹏作业奥鹏作业奥鹏作业
