《2018版高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件 新人教B版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法课件 新人教B版必修1（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 4 2求函数零点近似解的一种计算方法 二分法 第二章 2 4函数与方程 学习目标1 理解变号零点的概念 掌握二分法求函数零点的步骤及原理 2 了解二分法的产生过程 会用二分法求方程近似解 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 答案函数y 3x 3的零点是 1 零点左侧的函数值为负数 零点右侧的函数值为正数 函数y x2的零点是0 在0两侧的函数值都是正数 函数y x2 2x 3的零点是 1 3 在零点左右两侧的函数值异号 思考 知识点一零点存在的判定及变号零点与不变号零点的概念 函数y 3x 3 y x2 y x2 2x 3的图象 如下图所示 在图象上零点左右的函数值有怎样的变
2、化 答案 1 零点存在的判定如果函数y f x 在一个区间 a b 上的图象 并且在它的两个端点处的函数值异号 即 则这个函数在这个区间上 至少有一个零点 即存在一点x0 a b 使 2 变号零点与不变号零点如果函数图象通过零点时穿过x轴 则称这样的零点为变号零点 如果 x轴 则称这样的零点为不变号零点 梳理 不间断 f a f b 0 f x0 0 没有 穿过 思考1 知识点二二分法 从机房到用户有一根光缆线 现测得光缆线上有一个断点 如何尽快找到这个断点 答案 答案从中间 中点 向机房测试 若通 则断点必在中点与用户之间 以此查找 则能较快找到断点的大致位置 思考2 已知y f x 在 2
3、 3 上连续 且f 2 0 f 3 0 即在 2 3 上有零点 问如何尽快缩小零点所在区间的范围 答案 答案 取 2 3 的中点2 5 计算f 2 5 若f 2 5 0 则零点必在 2 5 3 内 否则在 2 2 5 内 梳理 1 二分法的概念对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 二分法求函数零点的一般步骤已知函数y f x 定义在区间D上 求它在D上的一个零点x0的近似值x 使它满足给定的精确度 用二分法求函数零点的一般步骤为 f a f b 0 一分为二 逐步逼近零 点 第一步在
4、D内取一个闭区间 a0 b0 D 使f a0 与f b0 即 零点位于区间 a0 b0 中 第二步取区间 a0 b0 的中点 则此中点对应的坐标为x0 计算f x0 和f a0 并判断 1 如果 则x0就是f x 的零点 计算终止 2 如果 则零点位于区间 a0 x0 中 令a1 a0 b1 x0 3 如果 则零点位于区间 x0 b0 中 令a1 x0 b1 b0 异号 f a0 f b0 0 f x0 0 f a0 f x0 0 f a0 f x0 0 第三步取区间 a1 b1 的中点 则此中点对应的坐标为x1 计算f x1 和f a1 并判断 1 如果 则x1就是f x 的零点 计算终止
5、2 如果 则零点位于区间 a1 x1 上 令a2 a1 b2 x1 3 如果 则零点位于区间 x1 b1 上 令a2 x1 b2 b1 f x1 0 f a1 f x1 0 f a1 f x1 0 继续实施上述步骤 直到区间 an bn 函数的零点总位于区间 an bn 上 当区间的长度bn an不大于给定的精确度时 这个区间 an bn 中的任何一个数都可以作为函数y f x 的近似零点 计算终止 题型探究 例1已知函数f x 的图象是连续不断的 且有如下的对应值表 类型一判断零点存在区间 则下列判断正确的是 函数f x 在区间 1 0 内至少有一个零点 函数f x 在区间 2 3 内至少有
6、一个零点 函数f x 在区间 5 6 内至少有一个零点 函数f x 在区间 1 7 内有三个零点 解析根据零点存在的条件判断 答案 解析 判断函数零点所在区间的三个步骤 1 代入 将区间端点代入函数求出函数的值 2 判断 把所得函数值相乘 并进行符号判断 3 总结 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则在该区间内无零点 若符号为负且函数连续 则在该区间内至少有一个零点 反思与感悟 解析 f x x a x b x b x c x c x a f a a b a c f b b c b a f c c a c b a b c f a 0 f b 0 f c 0 f x 的两个零点分别位于区间
7、a b 和 b c 内 跟踪训练1 1 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间A a b 和 b c 内B a 和 a b 内C b c 和 c 内D a 和 c 内 答案 解析 解析f x x 2 x 1 x 1 的图象如图 由图象可知 f x 在 a b 内的零点个数为0或2 2 已知函数f x x3 2x2 x 2 x a b 且f a f b 0 则f x 在 a b 内的零点个数为 答案 解析 0或2 例2 1 下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是 类型二二分法的概念 答案 解析 解析A中 函数无零点 B和D中 函数有
8、零点 但它们均是不变号零点 因此它们都不能用二分法来求零点 而在C中 函数图象是连续不断的 且图象与x轴有交点 并且其零点为变号零点 故选C 解析结合函数f x x 的图象可知 该函数在x 0的左右两侧函数值的符号均为正 故其不能用二分法求零点 2 下列函数中不能用二分法求零点的是A f x 3x 1B f x x3C f x x D f x x 1 x 2 答案 解析 二分法求函数零点的依据 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 反思与感悟 解析y f x 的零点即y f x 的图象与x轴的公
9、共点 所以有4个 适合用二分法求零点 必须是变号零点 所以有3个 跟踪训练2已知函数f x 的图象如图 其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为A 4 4B 3 4C 5 4D 4 3 答案 解析 例3求函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点的近似值 精确到0 1 类型三用二分法求函数的近似零点 解答 解由于f 1 20 可以确定区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 由上表的计算可知 区间 1 375 1 4375 的左右端点精确到0 1所取的近似值都是1 4 因此1 4就是所求函数的一个正实数零点的近似值 二分法求函数零点的近似值的步骤 反思与感悟 跟踪训
10、练3 1 用二分法求函数f x 的一个正实数零点时 经计算f 0 64 0 f 0 68 0 则函数的一个精确到0 1的正实数零点的近似值为A 0 64B 0 74C 0 7D 0 6 答案 2 用二分法求函数f x x3 x 2的一个正实数零点 精确到0 1 解答 解由f 1 20 可以确定区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐步计算 具体如表 由上表的计算可知 区间 1 5 1 5625 的长度不大于0 1 因此可取1 5作为所求函数的一个正实数零点的近似值 所以f x x3 x 2的一个正实数精确到0 1的近似零点为1 5 当堂训练 1 观察下列函数的图象 判断能用二分法求其零点的
11、是 答案 2 3 4 5 1 2 用二分法求函数f x x3 5的零点可以取的初始区间是A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 2 3 4 5 1 3 函数f x 2x m的零点落在 1 0 内 则m的取值范围为A 2 0 B 0 2 C 2 0 D 0 2 答案 2 3 4 5 1 解析 解析由题意f 1 f 0 m 2 m 0 0 m 2 4 在用二分法求函数f x 零点近似值时 第一次取的区间是 2 4 则第三次所取的区间可能是A 1 4 B 2 1 C 2 2 5 D 0 5 1 答案 2 3 4 5 1 解析 解析因第一次所取的区间是 2 4 所以第二次的区间可能是 2
12、 1 1 4 第三次所取的区间可能为 2 0 5 0 5 1 1 2 5 2 5 4 只有选项D在其中 故选D 5 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次经计算f 0 0 f 0 5 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 答案 2 3 4 5 1 0 0 5 x0 0 25时 f 0 25 的值 规律与方法 1 二分就是平均分成两部分 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 直至找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2 二分法求方程近似解的适用范围 在包含方程解的一个区间上 函数图象是连续的 且两端点函数值异号 3 求函数零点的近似值时 所要求的精度不同 得到的结果也不相同 本课结束
