《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第五节 曲率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第五节 曲率（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 弧微分 第三章导数的应用 第五节曲率 二 曲率及其计算公式 三 曲率半径和曲率圆 设函数y f x 在区间 a b 内有连续导数 即f x 连续 我们在方程为y f x a x b 的曲线上取定点M0 x0 y0 作为计算曲线弧长的起点 点M x y 是其上任意一点 并规定 1 以x增大的方向作为曲线的正方向 简称曲线y f x 为有向曲线 一 弧微分 2 记有向弧段M0M的长度为s 当M0M的方向与曲线的正向一致时 s取正号 对于任意一个x a b 在曲线上相应地有一个点M x y 那么s就有一个确定的值与之对应 因此弧长s为x的函数 s s x 且由规定 2 可知 它是一个单调递增的函
2、数 当x增大到x dx时 而点M处的切线MT的纵坐标的增量为dy 可以证明 s与MT之差是 x的高阶无穷小量 即弧微分 根据微分定义 所以函数s s x 的微分 s dy dx t dt dy f t dt 记为K 即 二 曲率及其计算公式 定义1弧AB的切线转角 a与该弧长 s之比的绝对值叫做该弧的平均曲率 定义2当点B沿曲线L趋向于A时 上图 a 若弧AB的平均曲率的极限存在 则称此极限为曲线L在点A处的曲率 记为K 即 又 s R a 设圆的半径为R 这时 弧AB上切线的转角等于半径OA与OB的夹角 因此 对曲线y f x 的曲率计算问题 由于y tan 由于 arctany 于是有 所
3、以其曲率公式为 例1计算函数y x3在点 0 0 与 1 1 处的曲率 解因为 y 3x2 y 6x 所以曲线在任意点处曲率为 将x 0代入上式 即得点M 0 0 处的曲率K 0 0 将x 1代入上式 即得点M 1 1 处的曲率为 例2求曲线 a 0 在t 处的曲率 解因为 x a 1 cost x asint y asint y acost 所以得曲率 t 代入上式 即可得所求的曲率为 设曲线y f x 在某点M x y 的曲率为K且不为0 称为该曲线在M x y 处的曲率半径 记为R 若在曲线y f x 上的点M处 沿其凹向一侧的法线上取线段MC 其长等于曲率半径R 则点C称为该曲线在点M
4、处的曲率中心 三 曲率半径和曲率圆 即 以C为中心 以曲率半径R为半径的圆 叫做该曲线在点M处的曲率圆 如图 在研究曲线上某点附近的弧段的形态时 我们可以用曲线在该点的曲率圆上相应的弧段近似代替 以我们熟悉的圆的知识来分析曲线上这段弧的形态 例3设工件表面的截线为抛物线y 0 4x2 现拟用砂轮磨削其内表面 试问 选用多大直径的砂轮比较合适 解为了保证工件的形状与砂轮接触处附近的部分不被磨削太多 显然所选砂轮的半径应当小于或等于该抛物线上曲率半径的最小值 为此 首先应计算其曲率半径的最小值 即曲率的最大值 因为 y 0 8x y 0 8 所以曲率 欲使曲率最大 应使上式分母最小 因此 当x 0
5、时 曲率最大 且 K 0 8 于是曲率半径的最小值为 可见 应选半径不超过1 25单位长 即直径不超过2 50单位长的砂轮 例4设一辆质量为m的汽车以速度v经过下图所示的抛物形拱桥 该桥的跨度为l米 高度为h米 试问当汽车驶过顶点O时 对桥的压力多大 解质量为m的质点以线速度v 其大小为v 沿半径为r的圆周作匀速圆周运动时 质点所受到的向心力为 若质点沿曲线y f x 运动 则公式中的r就是曲线在该点的曲率半径 因此 质点在该点所受的向心力等于 其中R为曲线在该点的曲率半径 为此 我们应建立拱桥的曲线方程 取坐标如图 已知拱桥形状为抛物线 所以设为y ax2 因为汽车对桥面的压力F 重力 向心
6、力 所以过O点时桥面所受压力 例5设火车由直线轨道AO转入曲线轨道CB中间需用曲线OC连接 人们通常取OC为三次抛物线y ax3 而不采用圆弧 试解释之 如图 解曲线OC的连接应保证火车安全行驶 OC在衔接点O既应与AO相切 又应使其曲率为零 即与直线轨道AO的曲率相同 在衔接点C处也应当与CB相切 且与CB在C处的曲率相同 从而使曲线OC在衔接点处不仅切线连续变化 而且曲率也连续变化 为什么不以圆弧为过渡曲线呢 这是因为 任何与AO相切的圆弧 在O点的曲率都不会为零 这样 火车在转弯时向心力就连续变化 从而不会发生急剧震动 这是不符合安全运行要求的 因此火车经过O点的向心力发生突变 从而产生剧烈震动
