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1、1 第七章力法 2 超静定结构有如下特征 1 从几何构造分析的观点来看 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 7 1超静定结构的组成和超静定次数 一 超静定结构的组成 2 若只考虑静力平衡条件 超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定 还要补充位移条件 3 如下图超静定梁 若只满足平衡条件 支座B的竖向反力可以是任意值 若只满足平衡条件 超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答 4 二 超静定次数 超静定次数n 结构多余约束数目 为了确定超静定次数 通常使用的方法是拆除多余约束 使原结构变成静定结构 则n等于拆除的多余约束数 规则 1 去掉或切断一根链杆 相当于去掉一个约束 2
2、去掉一个简单铰 相当于去掉两个约束 5 3 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆 相当于去掉三个约束 4 在梁式杆上加一个简单铰 相当于去掉一个约束 例 6 7 c d 8 f 不要把原结构拆成几何可变体系 此外 要把超静定结构的多余约束全部拆除 9 7 2力法基本原理 解超静定结构 除应满足平衡条件外 还必须满足位移协调条件 一 一次超静定结构的力法计算 1 力法的基本体系和基本未知量 如下图示超静定梁 去掉支座B的链杆 用相应的未知力X1代替 X1称为力法基本未知量 去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构 10 11 2 力法方程 力法方程为 基本结构的位移 原结构的位移 原结构
3、B截面竖向位移 因为 方程可写为 12 讨论 1 力法方程是位移方程 2 方程的物理意义 基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移 3 系数的物理意义 基本结构在X1 1作用下沿X1方向的位移 基本结构在FP作用下沿X1方向的位移 13 3 力法计算 B 1 求系数及自由项 14 3 作内力图 2 求未知力X1 15 二 多次超静定结构的力法计算 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图 16 17 力法方程为 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义 主系数 11 22 33恒大于零 副系数 ij i j 可能大于 等
4、于或小于零 18 由位移互等定理 ij ji 即 12 21 23 32 31 13 作图及MP图 求出力法方程的系数和自由项 解方程求出力法未知量 然后根据下式求内力 19 三 超静定结构支座移动时的力法计算 超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助 与静定结构不同 超静定结构产生支座移动时 结构不仅产生变形 而且有内力 下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路 原结构 受X1及支座转角 共同作用 只有X1作用 支座转角 对杆端A无影响 20 受X1及支座转角 共同作用 解 1 选两种基本体系如下图示 2 力法基本方程 位移条件 力法方程 只有X1作用 支座转角
5、对杆端A无影响 21 3 求系数和自由项 4 求未知力X1 22 5 作内力图 在基本体系II中 若X1为逆时针方向 如下图示 则力法方程成为 23 小结 1 当超静定结构有支座位移时 所取的基本体系上可能保留有支座移动 也可能没有支座移动 应当尽量取无支座移动的基本体系 2 当基本体系有支座移动时 自由项按下式求解 为基本体系由X 1产生的支座反力 为基本体系的支座位移 3 当超静定结构有支座移动时 其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比 EI越大 内力越大 24 例7 2 1写出图示刚架的力法方程并求出系数 iC 解 1 取两种基本体系如下图示 25 基本体系I 基本体系II 2 建立力法方程
6、讨论方程及系数的物理意义 26 基本体系I 3 求自由项 本例主要讨论自由项的求法 其余计算略去 27 基本体系II 28 7 3力法举例 一 连续梁 用力法解连续梁时 其基本体系是将杆件在中间支座处变为铰 如下图所示 原结构 B 0 C 0 29 B 0 B左右截面相对转角等于零 C 0 C左右截面相对转角等于零 位移方程 30 1 力法方程 方程各系数示于上页图中 讨论方程和系数的物理意义 2 方程求解 图 图及MP图见下页图示 上述弯矩图的一个特征是 弯矩图局部化 31 32 将系数代入力法方程就得到 解方程得 3 作内力图 1 根据下式求各截面M值 然后画M图 33 2 根据M图求各杆
7、剪力并画FQ图 M图 AB杆 34 很容易求得CD杆剪力为 FQ图 BC杆 35 二 超静定刚架 例7 3 1求图示刚架M图 1 力法方程 36 2 方程求解 37 38 将求得的系数代入力法方程就得到 解方程得 39 3 讨论 1 当k 0 即E1I1很小或E2I2很大 则 刚架弯矩图为 可见 柱AB相当于在横梁BC的B端提供了固定约束 40 2 当k 1 刚架弯矩图如图a 示 3 当k 即E1I1很大或E2I2很小 由于柱AB抗弯刚度趋近于零 只提供轴向支撑 故梁BC相当于简支梁 M图见图b 41 结论 在荷载作用下 超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k有关 而与杆件抗弯刚度EI的
8、绝对值无关 若荷载不变 只要k不变 结构内力也不变 42 三 超静定桁架 以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法 除注明者外 其余各杆刚度为EA 原结构 43 基本体系I 力法方程 力法方程的物理意义是 基本结构在荷载和X1共同作用下 杆AB切口左右截面相对于水平位移等于零 基本结构中包括AB杆 基本体系I 44 基本体系II 力法方程 力法方程的物理意义是 基本结构在荷载和X1共同作用下 结点A B相对水平位移等于杆AB的伸长 但符号相反 基本结构中不包括AB杆 45 例7 3 2求上图示桁架各杆轴力 各杆EA相同 根据上述基本体系I求得各杆FNP及标于图中 解 46 47 求得未知量后
9、 桁架各杆轴力按下式计算 48 四 排架 49 例7 3 3求图示排架M图 排架结构求解时 通常切断链杆以得到力法基本结构 这样 MP图和图局部化 求解力法方程系数比较简单 50 解 1 基本体系和力法方程 2 求系数和自由项 方程物理意义 横梁切口左右截面相对水平位移等于零 51 52 4 作M图 M图 kN m 3 求多余未知力 53 五 单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图 1 54 55 56 57 58 依据3 很容易得到右图示内力图 59 7 4力法简化计算 一 力法简化计算的思路 若结构的超静定次数为n 则在荷载作用下其力法方程为 60 在上列方程中 主系数 ii恒大于零 副系数 i
10、j i j 则可能大于零 等于零或小于零 若能使全部副系数 ij等于零 则方程组解耦 力法方程变为 即使不能使全部副系数等于零 若能使大部分副系数等于零 则力法计算也将大大简化 所以 力法简化计算的目的 使尽可能多的副系数等于零 61 二 非对称结构的简化计算 对于非对称结构 为简化计算 应尽量使图及MP图局部化 以简化方程系数的计算 所以 取基本结构时应考虑这一因素 62 排架结构基本体系 63 三 对称结构的简化计算 对称结构 结构的几何形状 支承条件 杆件的材料性质及杆件的刚度均关于某轴对称就称为对称结构 用力法解对称结构 应取对称的基本结构 只有这样才能简化计算 1 对称结构在对称荷载
11、作用下的简化计算 64 X1 X2 对称未知力 X3 反对称未知力 根据 MP图的对称性或反对称性可知 于是 原力法方程变为 65 结论 对称结构在对称荷载作用下 其反对称未知力为零 只有对称未知力 2 对称结构在反对称荷载作用下的简化计算 66 根据 MP图的对称性或反对称性可知 于是 原力法方程变为 67 对于前两个方程组成的方程组 因其右端项为零 且系数行列式的值通常不等于零 即 结论 对称结构在反对称荷载作用下 其对称未知力为零 只有反对称未知力 于是 方程组只有零解 X1 0 X2 0 68 3 奇数跨或偶数跨对称结构的处理 若对称结构是奇数跨 则存在与对称轴相交之截面 切开该截面
12、则未知力分为两组 对称未知力和反对称未知力 若荷载对称或反对称 则按前述方法处理 X1 X2为对称未知力 X3为反对称未知力 69 若对称结构是偶数跨 则不存在与对称轴相交之截面 此时应根据荷载情况分别处理 1 对称荷载 对称结构在该对称荷载作用下 其内力和位移均对称 70 2 反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下 其内力和位移均反对称 71 4 非对称荷载的处理 对称结构通常作用有非对称荷载 处理方法为 1 非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载分别计算 然后叠加两种情况的结果 72 2 荷载不分解 只取对称基本体系 73 根据 MP图的对称性或反对称性可知 于是 原力法方程变为 74 5
13、组合未知力 广义未知力 结合下图示刚架进行说明 75 力法方程为 76 在上题中 X1实质上是对称结构在对称荷载作用下产生的未知力 而X2则是反对称荷载产生的未知力 77 四 举例 例7 4 1右图示结构 讨论用力法简化计算 将荷载分解为对称荷载和反对称荷载 在对称结点荷载作用下 由于不考虑杆件的轴向变形 其M等于零 在反对称结点荷载作用下 只有一个未知量X1 原结构 78 79 图示对称结构 各杆EI相同 讨论力法的简化计算 解 将荷载分为两组 第一组荷载关于x和y轴都对称 见图b 第二组荷载关于y轴对称 关于x轴反对称 见下页图c 例7 4 2 80 由于不考虑杆件的轴向变形 上页图b 荷
14、载作用下各杆弯矩等于零 图c 荷载关于x轴反对称 切开与x轴相交的截面 未知力分为两组 对称未知力X1 X2以及反对称未知力X3 所以对称未知力X1 X2等于零 只有反对称未知力X3 如图d 所示 81 7 5温度变化及有弹簧支座结构的计算 一 温度变化时的计算 下面通过例题进行说明 例7 5 1图示刚架 混凝土浇筑时温度为15 到冬季时室外温度为 35 室内保持不变 求M图 各杆EI相同 线膨胀系数为 82 1 温度改变值 所以 2 力法方程 解 3 求未知力 83 4 作弯矩图 超静定结构在温度变化或支座移动作用下 杆件内力与杆件抗弯刚度EI成正比 84 二 具有弹簧支座结构的力法求解 弹
15、簧支座分为拉压弹簧支座和转动弹簧支座两类 如下图示 85 解 1 将拉压弹簧与杆端C分开 取基本体系如图示 2 力法方程 3 求系数和自由项 例7 5 2求下图示刚架M图 86 87 4 求未知量并作弯矩图 若基本体系保留有弹簧支座 则求方程的系数比较繁琐 应尽量避免 详见下面的例 88 例7 5 3求下图示具有弹簧支座梁的M图 解 1 基本体系见图b 2 力法方程 3 求系数和自由项 89 90 4 求未知力并作M图 91 7 6超静定结构的位移计算及力法计算校核 一 超静定结构的位移计算 用力法求出超静定结构的内力后 欲求某截面的位移 则单位荷载可以加在任选的基本体系上 即超静定结构的位移
16、计算可以在任选的基本体系上进行 对于某超静定结构 所选取的各种基本体系在外因 荷载 温度变化 支座移动 以及未知力X共同作用下 其内力和变形与原结构完全相同 所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移 92 例7 6 1求梁中点竖向位移 CV EI为常数 解 1 单位荷载加在原结构上 93 2 单位荷载加在基本体系I上 94 3 单位荷载加在基本体系II上 95 例7 6 2求图示刚架结点水平位移 DH 结构M图及各杆EI如图示 解 单位荷载分别加在四种基本体系上 显然基本体系1的计算最简单 见下页图 96 97 98 二 温度变化及支座移动时的位移计算 1 温度变化时的位移计算 b M图 图a 所示结构的M图已求出 见图b 欲求D结点的水平位移 各杆EI 相同 99 则位移计算的公式为 因为超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行 如取图c 所示基本体系求解超静定结构 则基本体系上作用有X1及温度变化两种因素 基本体系在X1作用下的M图即上页图b 此外还要考虑温度变化的影响 100 101 2 支座移动时的位移计算 图a 所示结构的M图已求出 见图b 欲求截面B的转角 1 所取
