《高中数学 经典资料第86课--直线与平面所成的角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 经典资料第86课--直线与平面所成的角（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 86 课直线与平面所成的角 基本方法 垂线法 第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点 第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角 第三步得出结论 空间向量法 第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标 第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标 第三步再利用sin a b a b 即可得出结论 一 典型例题 1 如 图 在 四 棱 锥PABCD 中 底 面ABCD是 平 行 四 边 形 AC 平 面 PAB 2 3 2 45ABACPBPBA 试判断棱PA上是否存在与点 P A不重合的点E 使得直线CE与 平面PBC所成角的正弦值为 3
2、3 若存在 求出 AE AP 的值 若不存在 请说明理由 答案 不存在 解析 由AC 平面PAB 知ACAB 如图 分别以 AB AC所在直线为x轴 y轴 平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴 建立空间 直角坐标系Axyz 则 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 2 0ABCACBC 由45PBA 3 2PB 可得 1 0 3P 所以 1 0 3 3 0 3APBP 假设棱PA上存在点E 使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 3 3 设 01 AE AP ll 则 0 3AEAP lll 2 3CEAEAC ll 设平面PBC的法向量为 x y zn 则 0 0
3、BC BP n n 即 220 330 xy xz 令1z 可得1xy 所以平面PBC的一个法向量为 1 1 1n 设直线CE与平面PBC所成的角为q 则 222 23 sincos 323 CE n ll q ll 2 22 3 3 3104 l l 整理得 2 340ll 因为01l 故 2 340ll 无解 所以棱PA上不存在与点 P A不重合的点E 使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 3 3 2 如图 三棱柱 111 ABCABC 中 侧面 11 BBC C为 1 60CBB 的菱形 1 ABAC 1 证明 平面 1 ABC 平面 11 BBC C 2 若 1 ABBC 直线AB
4、与平面 11 BBC C所成的角为30 求直线 1 AB与平面 11 A BC所成角的正弦值 答案 1 见解析 2 6 4 解析 1 连接 1 BC交 1 B C于O 连接AO 侧面 11 BBC C为菱形 11 BCBC 1 ABAC O为 1 BC的中点 1 AOBC 又 1 BCAOO 1 BC 平面 1 ABC 1 BC 平面 11 BBC C 平面 1 ABC 平面 11 BBC C 2 由 1 ABBC 1 BOBC ABBOB 1 B C 平面ABO AO 平面ABO 1 AOBC 从而OA OB 1 OB两两互相垂直 以O为坐标原点 OB 的方向为x轴正方向 建立如图所示空间直
5、角坐标系Oxyz 直线AB与平面 11 BBC C所成的角为30 30ABO 设1AO 则3BO 又 1 60CBB 1 CBB是边长为 2 的等边三角形 1 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 1 0ABBC 1111 0 1 1 0 2 0 3 0 1ABBCABAB 设 x y zn 是平面 11 A BC的法向量 则 11 1 0 0 A B BC n n 即 300 0200 xyz xyz 令1x 则 1 0 3n 设直线 1 AB与平面 11 A BC所成的角为q 则 1 1 1 6 sincos 4 A AB A B B n n n q 直线 1 AB与平面 11 A BC
6、所成角的正弦值为 6 4 二 课堂练习 1 如图所示 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD PA PD PA PD AB AD AB 1 AD 2 5ACCD 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 答案 3 3 解析 取 AD 的中点 O 连接 CO PO 5ACCD CO AD 又 PA PD PO AD 以 O 为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz 则 0 0 1 P 1 1 0 B 0 1 0 D 2 0 0 C 则 1 1 1 PB 0 1 1 PD 2 0 1 PC 2 1 0 CD 设 x y z n为平面 PCD 的法向量 则由 0 0 PD
7、 PC n n 可得 0 20 yz xz 则取1y 得平面 PCD 的一个法 向量为 1 1 1 2 n 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为q 则 1 1 1 3 2 sin cos 31 1 13 4 PB nq 2 如图 在多面体ABCDEF中 底面ABCD为边长为2的正方形 平面AED 平面ABCD 22ABEAED EF BD 在棱 ED 上是否存在点 M 使得直线 AM 与平面 EFBD 所成角的正弦值为 6 3 若存在 确定点 M 的位置 若不存在 请说明理由 答案 不存在 理由见解析 解析 取 AD 的中点 O 过 O 作 ON AB 交 BC 于 N 连接 EO EA E
8、D OE AD 又平面 AED 平面 ABCD AD OE 平面 AED OE 平面 ABCD 以 O 为原点建立空间直角坐标系 如图 则 1 0 0 A 1 2 0 B 1 0 0 D 0 0 1 E 设 01EMED 0 1 Mll 1 0 1 AMll 1 0 1 DE 2 2 0 DB 设平面 BDEF 的法向量为 x y z n 则 0 0 DB DE n n 即 220 0 xy xz 取1x 得平面 BDEF 的一个法向量为 1 1 1 n 2 2 sincos 322 AM AM AM n n n q l 令 2 26 3 322l 方程无解 棱 ED 上不存在点 M 使得直线
9、 AM 与平面 EFBD 所成角的正弦值为 6 3 三 课后作业 1 如图 已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形 EA 底面ABCD FD EA 且 1 1 2 FDEA 求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值 答案 3 6 解析 以 A 为原点 建立如图所示空间直角坐标系 由已知可得 0 0 0 A 0 0 2 E 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 1 F 则 2 2 2 EC 2 0 2 EB 0 2 1 EF 设平面 ECF 的法向量为 x y z n 则 2220 20 xyz yz 取1y 得平面 ECF 的一个法向量 1 1 2 n 设 直线 EB 与
10、平面 ECF 所成的角为q 则 22222 2423 sin cos 64 3 2 2 112 EB nq 2 如图 在四棱锥SABCD 中 SD 底面ABCD 底面ABCD为直角梯形 ABAD ABCD 且 222CDABAD 若SB与平面ABCD所成角的正弦值为 3 3 求四棱锥SABCD 的体积 答案 1 2 解析 SDABCD 平面 SDDBSBDSBABCD 是与平面所成角 3 sin 3 SD SBD SB 22 3 SBSD 又 22 BDABSDB 直角三角形中 22 SBSDDB 22 32SDSD 1SD 又 113 121 222 ABCD SABDC AD 梯形 113
11、1 1 3322 ABCDSABCD VSSD 梯形四棱锥 3 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 底面 ABCD 是菱形 AB 2 BAD 60 PA AB 求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值 答案 21 14 解析 设 AC BD O 因为 BAD 60 PA AB 2 所以 BO 1 3AOCO 如图 以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 则 3 0 2 P 3 0 0 A 0 1 0 B 0 1 0 D 3 0 0 C 所以 3 1 2 PB 3 1 2 PD 2 3 0 2 PC 设平面 PDB 的法向量为 x y z n 则 0 0 PB PD n n 即 320 320 xyz xyz 取3z 得平面 PDB 法向量为 2 0 3 n 设直线 PC 与平面 PBD 所成角为q 则 2 321 sin cos 144 7 PCq n 所以直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 21 14
