《经济与管理数学 概率论与数理统计雷天礼 第3章 3 1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济与管理数学 概率论与数理统计雷天礼 第3章 3 1（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章随机变量的数字特征 3 1 1 随机变量的数学期望 引例3 1某公司考虑一项投资计划 该计划在不同的市场状况下有不同的收益 在市场状况良好时 该项投资能获利100万元 市场状况一般时 获利30万元 市场状况较差时 该项投资将亏损50万元 已知明年市场状况良好的概率为0 5 市场状况一般的概率为0 3 市场状况较差的概率为0 2 试问 该投资计划的期望收益是多少 引例3 2某工厂产品中 一等品占 二等品占 次品占 如果一件次品工厂要损失1元 而一件一等品获利2元 一件二等品获利1元 试问一件产品的期望利润 即产品的平均利润 为多少 定义3 1 即离散型随机变量的数学期望是的各可能值与其对应
2、概率乘积的和 若离散型随机变量的概率分布为 记 3 1 1 称为的数学期望 简称期望 注 求无穷项和时须有意义 案例3 1为了适应市场需要 某地提出扩大生产的两个方案 一个是建大工厂 另一方案是建小工厂 两个方案的损益值 以万元为单位 以及市场状态的概率见下表 试问 在不考虑投资成本的情况下应选择哪种投资决策 由已知的损益及其概率分别求出两个方案的损益期望值 解 建大工厂的损益期望值为 建小工厂的年损益期望值为 因为建大厂的预期收益更高 故合理的决策方案是建大工厂 案例3 2某高级毛皮大衣每售出一件可赚6千元 积压一件要亏4千元 某时装店根据历史资料知市场需求的概率分布如下 试问该店应订购多少
3、件大衣其利润最大 该店订购量应为5至7件 解 由于市场需求量大于5件 订购5件商品时将全部售出 共获利 订6件商品时的销售 积压情况和对应的概率如下表 所以 订6件时的期望利润为 订7件商品时的销售 积压情况和对应的概率如下表 所以 订7件时的期望利润为 故该店在订购6件时期望利润最大 为3 3万元 案例3 3某保险公司需要决定是否对某工程项目开办一个新保险 如果开办而不出险情 则可获利 除去成本 5万元 如果开办后就发生险情 则将给保险企业造成100万元的赔款损失 如果不开办这个新保险 则不论出不出险情 保险企业都要付出调研费5千元 根据过去不完全统计资料 预测承保后不出险情的概率是0 96
4、 而出险情概率是0 04 在这种情况下 保险企业对该工程项目是承保还是不承保 下面计算各个方案的期望收益值 择优决策 解 承保方案期望收益值 不承保方案期望收益值 由于承保获得的收益更大 所以选择承保方案 定义3 2 即连续型随机变量的数学期望是的取值与概率密度的乘积在无穷区间上的广义积分 若连续型随机变量的概率分布为 记 3 1 2 为的数学期望 注 广义积分须有意义 随机变量的数学期望有如下性质 此性质可推广到有限个随机变量和的情况 案例3 4假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量 单位 吨 服从区间上的均匀分布 计算我国该种商品在国际市场上的年期望 解 由 3 1 2 式
5、通过这个案例 可知道 对于均匀分布的随机变量 其数学期望值在区间中点处 案例3 5据统计 一位40岁的健康者 一般体检未发现病症 在5年之内活着或自杀的概率为 在5年内非自杀死亡的概率为 保险公司开办5年人寿保险 参加者需交保险费元 若5年内非自杀死亡 公司赔偿元 试问应如何确定才能使公司期望获益 若有人参加保险 公司可期望从中收益多少 设表示公司从第个参保者获得的收益 则是一个随机变量 其分布如下 解 公司期望获益 根据数学期望的性质 4 定义3 3 1 2 随机变量函数的数学期望 若对于随机变量的函数 则当为离散型随机变量且有分布律时 随机变量的数学期望为 3 1 3 当为连续型随机变量且
6、有概率密度时 随机变量的数学期望为 3 1 4 案例3 6设某产品每周需求量Q的可能取值为1 2 3 4 5 等可能取各值 生产每件产品成本是 每件产品售价 没有售出的产品以每件的费用存入仓库 问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大 解 另设每周的产量为 每周期望获利 显然 且 已知需求量Q的分布律为 化简为 所以当时 E L 达到最大值 由于Q和N均取正整数 所以应取N 3或N 4 故当产量为3件或4件时 利润达到最大期望值12元 案例3 7假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量X 单位 吨 服从 20 40 上的均匀分布 已知该商品每售出1吨 可获利3万美元 若销售不
7、出去 则每吨要损失各种费用1万美元 如何组织货源 才可使收益最大 设y为组织的货源数量 R为收益 销售量为 依题意有 解 化简得 又已知销售量服从 20 40 上的均匀分布 即 于是 所以当y 35时E R 最大 因此应组织35吨的商品 案例3 8一工厂生产的某种设备的寿命X 以年记 服从指数分布 其概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏 可调换 如果工厂售出一台设备盈利100元 调换一台设备厂方需花费300元 求厂方出售一台设备净盈利的数学期望 解 所以 设表示设备的寿命 R表示净盈利 由题意 所以 厂方出售一台设备净盈利的数学期望为33 64元 案例3 9某产品销售员每件产品卖4元 其
8、成本为2元 厂家规定卖不掉的产品不能退回 如果这位销售员每日的销售量服从区间 100 200 上的均匀分布 为使他的期望利润达到最大 他应购进多少件产品 解 由于随机变量在 100 200 上服从均匀分布 故的概率密度为 设这位销售人员购进a件产品 销售量为 由题意知此人每日获得的利润为 因此 期望利润为 求上式的最大值 当a 150 上式有最大值 所以销售人员每日购进150件产品将获得最大期望利润 最大期望利润为250元 随堂练习 1 设随机变量X的分布列为 求X的数学期望E X 解 先求出 再求 2 运动队需要从A B两人中选拔一名运动员参加射击比赛 根据资料知他们的训练水平如下 试问两人中的谁的成绩好 解 根据数学期望的计算公式 我们容易分别得到A B的射击成绩期望 可以看到A的训练水平高 3 设随机变量X的概率密度为 求随机变量函数的期望 解 若X的概率密度为 则X的函数的期望可用下述公式来计算 4 某车间生产的固盘直径服从均匀分布 求圆盘面积的期望 设该车间生产的因盘宣径为随机变量D 它的概率密度为 解 圆盘面积乃随机变量D的函数 圆盘面积的期望为
