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1、总复习 一 绪论 1 掌握绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限及有效数字的概念 掌握误差限和有效数字之间的关系 会计算误差限和有效数字 2 了解数值计算中应注意的一些问题 一般地 凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位 定义1设数x是数x 的近似值 如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位 并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位 则称这n个数字为x的有效数字 也称用x近似x 时具有n位有效数字 二 解线性方程组的直接法 1 了解Gauss消元法的基本思想 知道适用范围 2 掌握矩阵的直接三角分解法 顺序Gauss消元法 矩阵A的各阶顺序主子式都
2、不为零 主元Gauss消元法 矩阵A的行列式不为零 定理设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零 则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A LU 会对矩阵进行Doolittle分解 LU LDM分解 Crout分解 TM 及Cholesky分解 GGT 了解它们之间的关系 熟练掌握用三角分解法求方程组的解 了解平方根法和追赶法的思想 3 了解向量和矩阵的范数的定义 会判定范数 三要素非负性 齐次性 三角不等式 会计算几个常用的向量和矩阵的范数 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念 4 了解方程组的性态 会计算简单矩阵的条件数 三 解线性方程组的迭代法 1 会建立J 法 G S法 SOR法的迭代格
3、式 会判定迭代方法的收敛性 1 迭代法收敛 迭代矩阵谱半径小于1 2 迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1 3 A严格对角占优 则J法 GS法 SOR法 0 1 收敛 4 A对称正定 则GS法 SOR法 0 2 收敛 2 掌握并会应用迭代法的误差估计式 四 解非线性方程的迭代法 1 了解二分法的思想 误差估计式 xk 2 k 1 b a 2 会建立简单迭代法迭代格式 会判定迭代方法的收敛性 定理若 x 为I上的压缩映射 则对任何x0 I 迭代格式xk 1 xk 均收敛于 x 在I上的唯一不动点 推论若1 a x b 2 x L 1 x a b 则xk 1 xk x0 a b 都收敛于方程
4、的唯一根 3 了解迭代法收敛阶的概念 会求迭代法收敛的阶 了解Aitken加速技巧 4 会建立Newton迭代格式 知道Newton迭代法的优缺点 了解Newton迭代法的变形 1 xk p阶收敛于 是指 推论若 x 在 附近具有一阶连续导数 且 1 则对充分接近 的初值x0 迭代法xk 1 xk 收敛 2 若 0 则迭代法线性收敛 局部平方收敛 五 矩阵特征值问题 1 了解Gerschgorin圆盘定理 会估计特征值 1 了解差商的概念和性质 2 了解乘幂法 反幂法的思想及加速技巧 3 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造 六 插值与逼近 Lagrange Newton Herm
5、ite插值多项式 基函数法及待定系数法 2 会建立插值多项式并导出插值余项 3 了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想 4 了解正交多项式的概念 会求简单的正交多项式 1 了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造 掌握梯形公式和Simpson公式及其误差 5 掌握最小二乘法的思想 会求拟合曲线及最佳均方误差 2 掌握求积公式的代数精度的概念 会用待定系数法确定求积公式 七 数值积分 3 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造 5 了解微分公式建立形式 会求简单的微分公式 4 了解Gauss公式的概念 会建立简单的Gauss公式 1 了解构造数值解法的基本思想及概念 八 常微分
6、方程数值解法 2 掌握差分公式局部截断误差和阶的概念 会求差分公式的局部截断误差 3 会判断单步方法的收敛性和稳定性 求稳定区间 一 填空题 每空3分 共30分 考试题解析 解由于 得特征值 又A 1 2 设矩阵A 当a取 值时 A可以唯一分解为GGT 其中G为下三角矩阵 1 设矩阵A 则 A Cond A 1 所以 A 1 5 A 1 1 5 7 解令 解只要取 x x3 a 或 x 1 x3 a 5 设 x x3 x2 3 则差商 3 32 33 34 3 向量x x1 x2 x3 T 试问 x1 2x2 x3 是不是一种向量范数 而 x1 2x2 x3 是不是一种向量范数 是不是 4 求
7、的Newton迭代格式为 1 6 设l0 x l1 x l2 x l3 x 是以x0 x1 x2 x3为互异节点的三次插值基函数 则 x 2 3 7 设S x 是以0 1 2为节 解 1 因为00 所以 x 仅在 1 2 内有零点 而当10 故 x 单调 因此方程 x 0有唯一正根 且在区间 1 2 内 点的三次样条函数 则b c 解由2 b c 1 5 6 2b c 8 12 2b 可得 二 13分 设函数 x x2 sinx 1 1 试证方程 x 0有唯一正根 2 构造一种收敛的迭代格式xk 1 xk k 0 1 2 计算精度为 10 2的近似根 3 此迭代法的收敛阶是多少 说明之 23
8、2 构造迭代格式 由于 x 1 故此迭代法收敛 3 因为0 2 所以 取初值x0 1 5 计算得x1 1 41333 x2 1 40983 由于 x2 x1 0 0035 10 2 故可取根的近似值 x2 1 40983 0 故 此迭代法线性收敛 收敛阶为1 三 14分 设线性方程组 1 写出Jacobi法和SOR法的迭代格式 分量形式 2 讨论这两种迭代法的收敛性 3 取初值x 0 0 0 0 T 若用Jacobi迭代法计算时 预估误差 x x 10 取三位有效数字 2 因为A是严格对角占优矩阵 但不是正定矩阵 故Jacobi法收敛 SOR法当0 1时收敛 解 1 Jacobi法和SOR法的
9、迭代格式分别为 3 由 1 可见 B 3 4 且取x 0 0 0 0 T 经计算可得x 1 1 4 2 5 1 2 T 于是 x 1 x 0 1 2 所以有 四 13分 已知 0 2 1 3 2 5 1 0 5 解 1 由y0 2 y1 3 y2 5 y1 0 5 得 H3 x 2 0 x 3 1 x 5 2 x 0 5 1 x 令 0 x c x 1 2 x 2 可得 0 x 0 5 x 1 2 x 2 于是H3 x x 1 2 x 2 3x x 2 2 5x x 1 2 0 5x x 1 x 2 1 试建立一个三次插值多项式H3 x 使满足插值条件 H3 0 2 H3 1 3 H3 2 5
10、 H3 1 0 5 2 设y x 在 0 2 上四次连续可微 试确定插值余项R x x H3 x 令 2 x cx x 1 2 可得 2 x 0 5x x 1 2 令 1 x x x 2 ax b 可得 1 x x x 2 令 1 x cx x 1 x 2 可得 1 x x x 1 x 2 x3 2 5x2 2 5x 2 由于 R 0 R 1 R 2 R 1 0 故可设 五 12分 试确定参数A B C及 使数值积分公式 4 A B C 0 A C 16 3 A 2 C 2 0 A 3 C 3 有尽可能高的代数精度 并问代数精度是多少 它是否是Gauss公式 解令公式对 x 1 x x2 x3
11、 x4都精确成立 则有 R x C x x x 1 2 x 2 构造函数 t t H3 t C x t t 1 2 t 2 于是 存在 x 使 4 x 0 即 4 x 4 C x 0 64 5 A 4 C 4 解得 A C 10 9 B 16 9 12 5 1 2 容易验证公式对 x x5仍精确成立 故其代数精度为5 是Gauss公式 六 12分 设初值问题 1 试证单步法 解 1 由于 是二阶方法 2 以此法求解y 10y y 0 1时 取步长h 0 25 所得数值解 yn 是否稳定 为什么 于是有 而 所以有 当h 0 25时 有 所以此单步方法为二阶方法 2 此单步方法用于方程y 10y 则有 所以 所得数值解是不稳定的 七 6分 设n阶矩阵A aij n n 试证实数 为矩阵A的一种范数 证明对任意n阶方阵A B和常数 有 所以 实数 A 是矩阵A的范数
