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1、1 8 江西省赣州市博雅文化学校江西省赣州市博雅文化学校 2016 届高三下学期届高三下学期 4 月周考月周考 3 理科数学理科数学班级班级 姓名姓名 第 卷 一 选择题 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的 A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 必要条件或充分条件 2 在复平面内复数 1i 2i b i是虚数单位 b是实数 表示的点在第四象限 则b的取值范围 是 A b 1 2 B b 1 2 C 1 2 b 2D b 2 3 设x y z都是正实数 a x 1 y b y 1 z c z 1 x 则 a
2、 b c三个数 A 至少有一个不大于 2B 都小于 2C 至少有一个不小于 2D 都大于 2 4 函数 2 2lnf xxx 的递增区间是 A A 11 0 22 及B B 11 0 22 及C C 1 0 2 D D 1 2 5 若函数 lnf xxax 在点 1 Pb处的切线与320 xy 垂直 则2ab 等于 A 2B 0C 1 D 2 6 函数593 23 xxxy的极值情况是 A 在1 x处取得极大值 但没有最小值 B 在3 x处取得极小值 但没有最大值 C 在1 x处取得极大值 在3 x处取得极小值 D 既无极大值也无极小值 7 曲线 12 x x y在点 1 1处的切线为l 则l
3、上的点到圆 22 430 xyx 上的点的最近距离是 A 12 B 2 12 C 13 D 2 2 8 设函数 03cos xfxfxxf 若 是偶函数 则 A 3 B 6 C 6 D 3 9若函数 2 1 f xxax x 在 1 2 是增函数 则a的取值范围是 A 1 0 B 1 C 0 3 D 3 2 8 10 已知 11 1 nn aaa 且 2 11 210 nnnn aaaa 计算 23 a a 猜想 n a等于 A nB 2 nC 3 nD 3nn 11 若函数f x x 3 3x a 有 3 个不同的零点 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 2 2 D 2 2 12 已知
4、函数132 23 axaxxf 2 3 4 x a xg 若对任意给定的 2 0 m 关于x的方程 mgxf 在区间 2 0 上总存在两个不同的解 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 一物体沿直线以速度 23v tt t的单位为 秒 v的单位为 米 秒 的速度作变速直线运动 则该物体从时刻 t 0 秒至时刻 t 5 秒间运动的路程是 14 曲线66 23 xxxy的斜率最小的切线方程为 15 设ABC 的三边长分别为cba ABC 的面积为S 内切圆半径为r 则 2S r abc 类比
5、这个结论可知 四面体PABC 的四个面的面积分别为 1234 S SS S 内切球的半径为R 四面体 PABC 的体积为V 则R 16 设函数 0 0 1 6 xx x x x xf 则当0 x时 xff的表达式的展开式中的常数项为 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知m R R 复数z m m 2 m 1 m 2 2m 3 i 当 m为何值时 1 z是纯虚数 2 z对应的点在直线x y 3 0 上 3 8 1818 1212 分 分 如图 已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 M N
6、 分别为 AB DF 的中点 I 若 CD 2 平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 的长 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 19 已知椭圆具有性质 若MN 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点 点 P 是椭圆上任意一点 当直线 PMPN 的斜率都存在 并记为 PM k PN k时 那么 PM k与 PN k之积是与点 P 的位置无关的定值 试对 双曲线 22 22 1 xy ab 写出具有类似特性的性质 并加以证明 20 已知函数 xxxfln 3 2 axxxg 1 求 xf在 efe 处的切线方程 2 若存在 ex 1 时 使 xgxf 2恒成立 求a的取值
7、范围 21 本小题满分 12 分 1212 11111 1 234212 1111 1232 1 2 n n nn nNS nn T nnnn S S T T ST 当时 求 猜想与的关系 并用数学归纳法证明 2222 设函数 2 ln 1 f xxbx 其中0b I 当 1 2 b 时 判断函数 f x在定义域上的单调性 II 求函数 f x的极值点 高 III 证明对任意的正整数n 不等式 23 111 ln 1 nnn 都成立 4 8 数学数学 考试答案考试答案 一 选择题 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 C
8、7 B 8 A 9D 10 B 11 C 12 A 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 29 2 米 14 01413 yx 15 1234 3V SSSS 16 20 三 解答题三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 已知m R R 复数z m m 2 m 1 m 2 2m 3 i 当 m为何值时 1 z是纯虚数 2 z对应的点在直线x y 3 0 上 17 解 1 当z为纯虚数时 则有 mm 2 m 1 0 m 2 2m 3 0 解得m 0 或m 2 3 分 当m 0 或
9、 2 时 z为纯虚数 4 分 2 当z对应的点在直线x y 3 0 上时 则有m m 2 m 1 m 2 2m 3 3 0 6 分 即m m 2 2m 4 m 1 0 解得m 0 或m 1 5 9 分 当m 0 或m 1 5时 z对应的点在直线x y 3 0 上 10 分 1818 1212 分分 如图 已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平 面内 M N 分别为 AB DF 的中点 I 若 CD 2 平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 的长 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 5 8 19 解 取 CD 的中点 G 连结 MG NG 因为 ABCD
10、 DCEF 为正方形 且边长为 2 所以 MG CD MG 2 2NG 因为平面 ABCD 平面 DCEF 所以 MG 平面 DCEF 可得 MG NG 所以 22 6MNMGNG 6 分 假设直线 ME 与 BN 共面 8 分 则AB 平面 MBEN 且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面 DCEF 又 AB CD 所以 AB 平面 DCEF 而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线 所以 AB EN 又 AB CD EF 所以 EN EF 这与ENEF E 矛盾 故假设不成立 所以ME与BN不共面 它们是异面直 线 12 分 19
11、已知椭圆具有性质 若MN 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点 点 P 是椭圆上任意一点 当直线 PMPN 的斜率都存在 并记为 PM k PN k时 那么 PM k与 PN k之积是与点 P 的位置无关的定值 试对 双曲线 22 22 1 xy ab 写出具有类似特性的性质 并加以证明 19 双曲线 22 22 1 xy ab 的类似性质 若 M N 是双曲线 22 22 1 xy ab 上关于原点对称的两个点 点 P 是双曲线上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 k PM k PN 时 那么 k PM 与 k PN 之 积是与点 P 位置无关的定值 证明如下 设点 M 的坐标
12、为 m n 则点 N 的坐标为 m n 其 中 1 2 2 2 2 b n a m 20 已知函数 xxxfln 3 2 axxxg 6 8 1 求 xf在 efe 处的切线方程 2 若存在 ex 1 时 使 xgxf 2恒成立 求a的取值范围 21 本小题满分 12 分 1212 11111 1 234212 1111 1232 1 2 n n nn nNS nn T nnnn S S T T ST 当时 求 猜想与的关系 并用数学归纳法证明 21 本小题满分 12 分 解 1 1 11 1 22 S 2 1117 1 23412 S 1 11 1 12 T 2 117 2 12212 T
13、2 分 2 猜想 nn STnN 即 111111111 1 2342121232nnnnnn n N 5 分 下面用数学归纳法证明 n 1 时 已证 S1 T1 6 分 假设 n k 时 Sk Tk k 1 k N 即 111111111 1 2342121232kkkkkk 8 分 1 11 212 1 kk SS kk 11 212 1 k T kk 10 分 7 8 111111 1232212 1 kkkkkk 11111 232112 1 kkkkk 11111 1 1 1 22212 1 kkkkk 1k T 由 可知 对任意 n N Sn Tn都成立 12 分 2222 设函数
14、 2 ln 1 f xxbx 其中0b I 当 1 2 b 时 判断函数 f x在定义域上的单调性 II 求函数 f x的极值点 III 证明对任意的正整数n 不等式 23 111 ln 1 nnn 都成立 解 I 函数 2 ln 1 f xxbx 的定义域为 1 2 22 2 11 bxxb fxx xx 令 2 22g xxxb 则 g x在 1 2 上递增 在 1 1 2 上递减 min 11 22 g xgb 当 1 2 b 时 min 1 0 2 g xb 2 220g xxxb 在 1 上恒成立 0 fx 即当 1 2 b 时 函数 f x在定义域 1 上单调递增 II 分以下几种
15、情形讨论 1 由 I 知当 1 2 b 时函数 f x无极值点 2 当 1 2 b 时 2 1 2 2 1 x fx x 1 1 2 x 时 0 fx 1 2 x 时 0 fx 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 8 8 3 当 1 2 b 时 解 0fx 得两个不同解 1 11 2 2 b x 2 11 2 2 b x 当0b 时 1 11 2 1 2 b x 2 11 2 1 2 b x 12 1 1 xx 此时 f x在 1 上有唯一的极小值点 2 11 2 2 b x 当 1 0 2 b 时 12 1 x x fx在 12 1 xx 都大于 0 fx在 12 x x上小于
16、0 此时 f x有一个极大值点 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 综上可知 0b 时 f x在 1 上有唯一的极小值点 2 11 2 2 b x 1 0 2 b 时 f x有一个极大值点 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 III 当1b 时 2 ln 1 f xxx 令 332 ln 1 h xxf xxxx 则 32 3 1 1 xx h x x 在 0 上恒正 h x 在 0 上单调递增 当 0 x 时 恒有 0 0h xh 即当 0 x 时 有 32 ln 1 0 xxx 23 ln 1 xxx 对任意正整数n 取 1 x n 得 23 111 ln 1 nnn
