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1、函数的单调性 习题课 复习 对于给定区间D上的函数f x 若对于D上的任意两个值x1 x2 当x1 f x2 则称f x 是D上的增 减 函数 区间D称为f x 的增 减 区间 1 函数单调性的定义是什么 若 0 则说明什么 2 证明函数单调性的步骤是什么 第一步 取值第二步 作差变形第三步 定号第四步 判断下结论 题型一 用定义证明函数的单调性 例1 判断函数f x x3 1在 0 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 如果x 0 函数f x 是增函数还是减函数 学 科 网zxxk 组卷网 讨论函数f x 在 1 1 上的单调性 例2 解 设 此时f x 为减函数 当a 0时 f x1 f
2、x2 此时f x 为增函数 题型二 图象法 例3 指出下列函数的单调区间 例4 指出下列函数的单调区间 题型三 利用已知函数单调性判断 例3 判断函数 在 1 上的单调性 为正数且增函数 例4 设f x 在定义域A上是减函数 试判断y 3 2f x 在A上的单调性 并说明理由 学 科 网 结论2 y f x 与y kf x 当k 0时 单调性相同 当k 0时 单调性相反 结论3 若f x 与g x 在R上是增函数 则f x g x 也是增函数 结论4 若f x 在R上是增函数 g x 在R上是减函数 则f x g x 也是增函数 结论6 复合函数f g x 由f x 和g x 的单调性共同决定
3、 它们之间有如下关系 结论5 若f x 其中f x 0 在某个区间上为增函数 则 练习 求函数 的单调区间 答案 3 单减区间 2 单增区间 注意 求单调区间时 一定要先看定义域 题型四 函数单调性解题应用 例1 已知函数y x2 2ax a2 1在 1 上是减函数 求a的取值范围 解此类由二次函数单调性求参数范围的题 最好将二次函数的图象画出来 通过图象进行分析 可以将抽象的问题形象化 练习 如果f x x2 a 1 x 5在区间 0 5 1 上是增函数 那么f 2 的取值范围是什么 7 例2 已知x 0 1 则函数的最大值为 最小值为 上的增函数 利用函数的单调性求函数的值域 这是求函数值
4、域和最值的又一种方法 例3 已知 f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 1 f x2 1 求x的取值范围 注 在利用函数的单调性解不等式的时候 一定要注意定义域的限制 保证实施的是等价转化 例4 已知f x 在其定义域R 上为增函数 f 2 1 f xy f x f y 解不等式f x f x 2 3 函数单调性在解题中的妙用 解 利用数形结合可知解的个数为1个 故选 B 例1 方程在 上解的个数有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 另解 若令 易知 在 上是递增函数 因为 故选 B 0 故有且只有一个 使 分析 把此不等式整理变形为关于a的一元一次不等式 由于一次函数是单调的
5、 若令f x a x 2 x2 6x 只需f 4 0且f 5 0即可 所以x 1 4 a x 2 x2 6x 0在a 上恒成立 例3 求证 2n 2n 1 n为自然数 且n 3 解 构造函数f x 2x 2x 对任意的x 3 f x 1 f x 2x 1 2 x 1 2x 2x 2x 2 而x 3 f x 1 f x 0 可知f x x 3 是递增函数 f 3 23 2 3 2 1 故有2n 2n 1 例4 求函数的值域 解 易知函数是单调递增函数 又因为函数的定义域是x 5 所以当x 5时 y最大 10 故函数的值域为 10 题型五 复合函数单调区间的求法 例1 设y f x 的单增区间是 2 6 求函数y f 2 x 的单调区间 上是单调递减的 由复合函数单调性可知 如何判断函数 证明 如何应用函数 解 己知a b c R 且a 0 6a b 0 设f x ax2 bx c 试比较f 3 与f 的大小 解 由
