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1、第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题 2 排列与组合 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 3 二项式定理 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展
2、开式有关的简单问题 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 1 计数原理内容考查比较稳定 试题难度起伏不大 排 列组合题目一般为选择 填空题 考查排列组合的基础知识 思维能力 多数试题与教材习题的难度相当 但也有个别题难 度较大 二项式定理是高考必考内容 2 预计2011年高考中对排列组合的考查与概率统计相结 合 将在解答题中出现 而二项式定理仍要考查它的通项公式 和性质 其难度为中低档题 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数
3、学 1 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的 方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分类加法计数原理可以推广到 完成一件事有n类不同方 案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种 不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么 完成这件事共有 种不同的方法 N m n N m1 m2 mn 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 2 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做 第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有 种不 同的方法 分步乘法计数原理可以推广到 完成
4、一件事情需要n个步 骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 N m n N m1 m2 m3 mn 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 3 两个计数原理的共同点与区别 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点都是回 答有关做一件事的不同方法的种数问题 2 两个原理的区别在于 分类加法计数原理针对的是 问题 其中各种方法 的 无论哪一类办法中的哪一种方 法都能单独完成这件事情 分步乘法计数原理针对的是 问题 各个步骤中的方法 的 需要依次完成所有的步骤 才 能完成这件事情 分类 相互独立 彼此排
5、斥 分步 互相依存 缺一不可 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 1 2009 广东卷理 2010 广州亚运会组委会要从小张 小 赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事 前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方 案共有 A 36种 B 12种 C 18种 D 48种 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 解析 分两类 若小张或小赵入选 则有选法C21C21A33 24 若小张 小赵都入选 则有选法A22A32 12 共有选法 36种 选A 答案 A 第十四章 计数原理 选修 理科 高考
6、总复习 数学 2 2010 全国 6 某校开设A类选修课3门 B类选修课4 门 一位同学从中共选3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30种 B 35种 C 42种 D 48种 解析 分两种情况 1 2门A 1门B有C32C41 12种选法 2 1门A 2门B有C31C42 3 6 18种 N 12 18 30 答案 A 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 3 2010 汕头一模 从 2 1 0 1 2 3这六个数字 中任选3个不重复的数字作为二次函数y ax2 bx c的系数a b c 则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为 A 6 B 20 C 1
7、00 D 120 解析 第一步确定c 由抛物线过原点知c 0 只有1种 第二步确定a 由顶点在第一象限开口向下 a从 2 1中任 选1个 有2种 最后 b有3种 总共种数为1 2 3 6种 答案 A 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 复数z a bi 其中a b为自然数 且 z 5 这样 的复数共有多少个 解 z a bi z 5 a2 b2 25 可考虑按实部a或 虚部b进行讨论 按实部a进行分类 1 a 0时 0 b 5 有6个 2 a 1 2 3时 0 b 4 有3 5 15个 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习
8、数学 3 a 4时 0 b 3 有4个 4 a 5时 b 0 有1个 故共有6 15 4 1 26个满足条件的复数 点评与警示 运用分类加法计数原理时 要恰当进行分 类 做到不漏不重 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有 多少个 分析 该问题与计数有关 可考虑选用两个基本原理来 计算 完成这件事 只要两位数的个位 十位确定了 这件事 就算完成了 因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 解 解法一 按十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情 况分成8类 在每一类中满足题
9、目条件的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 解法二 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中 满足条件的两位数分别有1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 所以按分类加法计数原理共有 1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 一个口袋里有5封信 另一个口袋里有4封信 各封信 内容均不相同 1 从两个口袋里各取一封信 有多少种不同的取法 2 把这两个口袋里的9封信 分别投入4个邮筒 有多少种 不同的投法
10、 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 解 1 分两个步骤完成 由分步乘法计数原理 共有5 4 20 种 不同取法 2 以每封信投入邮筒的可能性考虑 第一封信投入邮筒有 4种可能 第二封信仍有4种可能 第九封信还是有4种可 能 由分步乘法计数原理可知 共有49种不同的投法 点评与警示 使用分步乘法计数原理做题时 必须是各 步全部完成 事情才算完成 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 报名方 法的种数为多少 五名学生争夺四项比赛的冠军 冠军不并列 获得冠军的可能性有多少种 解 报名的方法种数为4 4 4 4 4 45种 获得冠
11、军的可能情况有5 5 5 5 54种 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 若A a1 a2 a3 a4 B b1 b2 b3 试问从A 到B可建立多少种不同的映射 解 解法一 可分步计算 第一步 a1与B中唯一的元素对应有3种方法 第二步 a2与B中唯一的元素对应有3种方法 第三步 a3与B中唯一的元素对应有3种方法 第四步 a4与B中唯一的元素对应有3种方法 由分步计数原理 可建立从A到B的映射共有34 81个 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 已知集合A 1 2 3 集合B 4 5 6 7 8 映射f A B满
12、 足f 1 f 2 f 3 则这样的映射f共有 A 35个 B 15个 C 53个 D 10个 解析 从4 5 6 7 8五个数取三个数 从小到大对应 故有 C53 10个不同映射 答案 D 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部 分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 以 数字作答 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 解析 解法一 先排1有四种排法 若2 5相同有6种排 法 再排3有2种排法 则4 6固定 共有48种不同方法 若3 5相同有6种排法 再排2有2
13、种排法 则4 6固定 共 有48种不同方法 若2 3 5均不相同 有6种排法 则4 6固定 共有24种不 同方法 综上 共有48 48 24 120 种 方法 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 解法二 先排一区 有4种方法 把其余五个区域视为一 个圆环 沿圆环的一个边界剪开并把圆环拉直 得到如图的五 个空格 在五个空格中放入三种不同元素 且 相同元素不 相邻 两端元素不能相同 然后将图粘成圆环形 1 因为2 6不 同共有6种不同方法 若3 5同 不能为2 6 共有一种方法 则4有 2种方法 若3 5不同共有3种不同方法 则4固定 综上 共有 4 6 3 2 120 种 不同方法
14、 答案 120 2 3 4 5 6 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 点评与警示 本题主要考查分类加法计数原理和分步乘 法计数原理的灵活应用及基本的计数技能 关键是分类时要标 准明确 做到不漏不重 分步时要步骤连续 当两个原理混和 使用时 一般是先分类 在每类方法里再分步 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 2010 天津 10 如图 用四种不同 颜色给图中的A B C D E F六个 点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图 中每条线段的两个端点涂不同颜色 则 不同的涂色方法共有 A 288种 B 264种 C 240种 D 168种 第十四章 计数原理 选修 理科
15、高考总复习 数学 解析 按所用颜色分两类 第一类 三色涂完 必然两两同色 即AC BE DF或AF BD CE 有2A43 48种 第二类 四色涂完 A D E肯定不同色 有A43种涂法 再从B F C中选一位置涂第四色有三种 若所选是B 则F C共三种涂法 所以A43 C31 3 216种 故共有48 216 264种 答案 B 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 1 运用两个原理解决计数问题时 首先要弄清楚完成的 是一件什么事的计数问题 其次弄清如何完成这件事 是分类 还是分步 一般是先分类再分步 分类时要设计好分类标准 防止
16、重复和遗漏 分步时要合理设计步骤 顺序 注意步与步 之间的连续性 使各步互不干扰 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 2 两个原理的联系与区别 共同点 都是计算完成一件事的所有不同的方法种数 不同点 一个与分类有关 一个与分步有关 如果完成一 件事情共有n类办法 这n类办法彼此之间相互独立的 无论哪 一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情 求完成这件 事情的方法种数 就用分类加法计数原理 如果完成一件事情 需要分成n个步骤 各个步骤都是不可缺少的 需要依次完成所 有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤各有若干种不 同的方法 求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学 3 复杂的排列问题常常通过试验 画简图 小数字简化 等手段使问题直观化 从而寻求解题途径 由于结果的正确性 难以直接检验 因而常需要用不同的方法求解来获得检验 4 元素可重复或位置可重复的排列问题 往往用分步乘 法计数原理 第十四章 计数原理 选修 理科 高考总复习 数学
