《2018年高考数学二轮复习 第二部分 专题七 解析几何 7.3.1 压轴大题2 直线与圆锥曲线课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学二轮复习 第二部分 专题七 解析几何 7.3.1 压轴大题2 直线与圆锥曲线课件 理（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7 3 压轴大题2 直线与圆锥曲线 2 3 4 5 6 1 椭圆 双曲线中a b c e之间的关系 7 2 求解圆锥曲线标准方程的方法是 先定型 后计算 1 定型 就是指定类型 也就是确定圆锥曲线的焦点位置 从而设出标准方程 2 计算 就是利用待定系数法求出方程中的a2 b2或p 另外 当焦点位置无法确定时 椭圆常设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 双曲线常设为mx2 ny2 1 mn 0 抛物线常设为y2 2ax或x2 2ay a 0 3 椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2 By2 1 其中A B是不相等的常数 当A B 0时 表示焦点在y轴上的椭圆 当B A 0时 表示焦点在x轴上
2、的椭圆 当AB 0时 表示双曲线 8 4 直线与圆锥曲线位置关系与 的关系 设直线l Ax By C 0 圆锥曲线C f x y 0 由消去y 或消去x 得ax2 bx c 0 若a 0 b2 4ac 则 0 相交 0 相离 0 相切 若a 0 得到一个一次方程 则 C为双曲线时 则l与双曲线的渐近线平行 C为抛物线时 则l与抛物线的对称轴平行 5 直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求 根据根与系数的关系进行整体代入 即斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A x1 y1 B x2 y2 时 9 6 通径 过椭圆 双曲线 抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径 椭圆与双曲线的通径长为 过椭圆及双曲
3、线焦点的弦中通径最短 抛物线通径长是2p 过抛物线焦点的弦中通径最短 椭圆上点到焦点的最长距离为a c 最短距离为a c 7 弦AB的中点与直线AB斜率的关系 10 11 8 定值 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量 那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程 数量积 比例关系等 这些直线方程 数量积 比例关系不受变化的量所影响的一个点 就是要求的定点 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程 数量积 比例关系等 根据等式的恒成立 数式变换等寻找不受参数影响的量 9 点在圆锥曲线内部或外部的充要条件 7 3 1直线与圆及圆锥曲线 13 考向一 考向二 考向三 求轨迹方程解题策略一直接法
4、例1已知过点A 0 2 的动圆恒与x轴相切 设切点为B AC是该圆的直径 1 求点C轨迹E的方程 2 当AC不在坐标轴上时 设直线AC与曲线E交于另一点P 该曲线在P处的切线与直线BC交于点Q 求证 PQC恒为直角三角形 难点突破 1 利用AC是直径 所以BA BC 或C B均在坐标原点 由此求点C轨迹E的方程 2 设直线AC的方程为y kx 2 由得x2 8kx 16 0 利用根与系数的关系及导数的几何意义 证明QC PQ 即可证明结论 14 考向一 考向二 考向三 当C B均在坐标原点时 点C坐标适合方程x2 8y 综上可知点C轨迹E的方程为x2 8y 15 考向一 考向二 考向三 因此Q
5、C PQ 所以 PQC恒为直角三角形 解题心得如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 设出动点坐标 直接利用等量关系建立x y之间的关系F x y 0 就得到轨迹方程 16 考向一 考向二 考向三 对点训练1已知点P 2 2 圆C x2 y2 8y 0 过点P的动直线l与圆C交于A B两点 线段AB的中点为M O为坐标原点 1 求M的轨迹方程 2 当 OP OM 时 求l的方程及 POM的面积 解 1 圆C的方程可化为x2 y 4 2 16 所以圆心为C 0 4 半径为4 故x 2 x y 4 2 y 0 即 x 1 2 y 3 2 2 所以M的轨迹方程是 x 1 2 y 3 2 2 17
6、 考向一 考向二 考向三 2 由 1 可知M的轨迹是以点N 1 3 为圆心 为半径的圆 由于 OP OM 则O在线段PM的垂直平分线上 又P在圆N上 从而ON PM 18 考向一 考向二 考向三 解题策略二相关点法例2 2017江西新余一中模拟七 理20 已知圆C1的圆心为坐标原点 1 求曲线C的方程 2 若动直线l2 y kx m与曲线C有且仅有一个公共点 过F1 1 0 F2 1 0 两点分别作F1P l2 F2Q l2 垂足分别为P Q 且记d1为点F1到直线l2的距离 d2为点F2到直线l2的距离 d3为点P到点Q的距离 试探索 d1 d2 d3是否存在最值 若存在 请求出最值 19
7、考向一 考向二 考向三 难点突破 1 设圆C1 x2 y2 R2 根据圆C1与直线l1相切 求出圆的方程为x2 y2 12 由此利用相关点法能求出曲线C的方程 2 将直线l2 y kx m代入曲线C的方程 1中 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 由此利用根的判别式 根与系数的关系 直线方程 椭圆性质 弦长公式 结合已知条件能求出 d1 d2 d3存在最大值 并能求出最大值 20 考向一 考向二 考向三 解 1 设圆C1 x2 y2 R2 圆C1与直线l1相切 21 考向一 考向二 考向三 2 由 1 中知曲线C是椭圆 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 由直线l2
8、与椭圆C相切知 64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 22 考向一 考向二 考向三 解题心得如果动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的 而该点坐标满足某已知曲线方程 则可以设出P x y 用 x y 表示出相关点Q的坐标 然后把Q的坐标代入已知曲线方程 即可得到动点P的轨迹方程 23 考向一 考向二 考向三 对点训练2 2017河南郑州一中质检一 理20 已知圆M x2 y2 r2 r 0 与直线l1 x y 4 0相切 设点A为圆上一动点 AB x轴于B 且动点N满足 设动点N的轨迹为曲线C 1 求曲线C的方程 2 直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P Q两点 求 OPQ面积的最
9、大值 解 1 设动点N x y A x0 y0 因为AB x轴于B 所以B x0 0 24 考向一 考向二 考向三 所以 OPQ面积的最大值为1 25 考向一 考向二 考向三 解题策略三定义法例3已知圆M x 1 2 y2 1 圆N x 1 2 y2 9 动圆P与圆M外切并且与圆N内切 圆心P的轨迹为曲线C 1 求C的方程 2 l是与圆P 圆M都相切的一条直线 l与曲线C交于A B两点 当圆P的半径最长时 求 AB 难点突破 1 将圆的位置关系转化为圆心连线的关系 从而利用椭圆的定义求出轨迹方程 2 在三个圆心构成的三角形中 由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为2 此时动圆圆心在x轴上 由l
10、与圆P 圆M都相切构成相似三角形 由相似比得l在x轴上的截距 利用l与圆M相切得l斜率 联立直线与曲线C的方程 由弦长公式求出 AB 26 考向一 考向二 考向三 解由已知得圆M的圆心为M 1 0 半径r1 1 圆N的圆心为N 1 0 半径r2 3 设圆P的圆心为P x y 半径为R 1 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切 所以 PM PN R r1 r2 R r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线C是以M N为左 右焦点 长半轴长为2 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其方程为 1 x 2 2 对于曲线C上任意一点P x y 由于 PM PN 2R 2 2 所以R 2 当且仅当圆P的圆心为 2 0
11、 时 R 2 所以当圆P的半径最长时 其方程为 x 2 2 y2 4 若l的倾斜角不为90 由r1 R知l不平行于x轴 设l与x轴的交点为Q 27 考向一 考向二 考向三 28 考向一 考向二 考向三 解题心得1 若动点的轨迹符合某已知曲线的定义 可直接设出相应的曲线方程 用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数 从而求出轨迹方程 2 涉及直线与圆的位置关系时 应多考虑圆的几何性质 利用几何法进行运算求解往往会减少运算量 29 考向一 考向二 考向三 对点训练3设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A 直线l过点B 1 0 且与x轴不重合 l交圆A于C D两点 过B作AC的平行线交AD于点E
12、 1 证明 EA EB 为定值 并写出点E的轨迹方程 2 设点E的轨迹为曲线C1 直线l交C1于M N两点 过B且与l垂直的直线与圆A交于P Q两点 求四边形MPNQ面积的取值范围 1 证明因为 AD AC EB AC 故 EBD ACD ADC 所以 EB ED 故 EA EB EA ED AD 又圆A的标准方程为 x 1 2 y2 16 从而 AD 4 所以 EA EB 4 由题设得A 1 0 B 1 0 AB 2 30 考向一 考向二 考向三 2 解当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 1 k 0 M x1 y1 N x2 y2 31 考向一 考向二 考向三 故四边形MPNQ的面积
13、 可得当l与x轴不垂直时 四边形MPNQ面积的取值范围为 12 8 当l与x轴垂直时 其方程为x 1 MN 3 PQ 8 四边形MPNQ的面积为12 综上 四边形MPNQ面积的取值范围为 12 8 32 考向一 考向二 考向三 直线和圆的综合解题策略几何法例4 2017全国 理20 已知抛物线C y2 2x 过点 2 0 的直线l交C于A B两点 圆M是以线段AB为直径的圆 1 证明 坐标原点O在圆M上 2 设圆M过点P 4 2 求直线l与圆M的方程 难点突破 1 因圆M是以AB为直径的圆 要证原点O在圆M上 只需证OA OB kOA kOB 1 2 联立直线与抛物线的方程 线段AB中点坐标
14、圆心M的坐标 含参数 r OM 圆M过点P 4 2 0 参数的值 直线l与圆M的方程 33 考向一 考向二 考向三 解 1 设A x1 y1 B x2 y2 l x my 2 所以OA OB 故坐标原点O在圆M上 34 考向一 考向二 考向三 2 由 1 可得y1 y2 2m x1 x2 m y1 y2 4 2m2 4 故 x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0 即x1x2 4 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 20 0 由 1 可得y1y2 4 x1x2 4 所以2m2 m 1 0 解得m 1或m 当m 1时 直线l的方程为x y 2 0 圆心M的坐标为 3 1 圆M的半径为 圆M的
15、方程为 x 3 2 y 1 2 10 35 考向一 考向二 考向三 解题心得处理直线与圆的综合问题 要特别注意圆心 半径及平面几何知识的应用 如经常用到弦心距 半径 弦长的一半构成的直角三角形 利用圆的一些特殊几何性质解题 往往使问题简化 36 考向一 考向二 考向三 对点训练4已知圆O x2 y2 4 点A 0 以线段AB为直径的圆内切于圆O 记点B的轨迹为 1 求曲线 的方程 2 直线AB交圆O于C D两点 当B为CD的中点时 求直线AB的方程 37 考向一 考向二 考向三 解 1 设AB的中点为M 切点为N 连接OM MN 则 OM MN ON 2 AB ON OM MN 2 OM AB
16、 即 AB 2 OM 4 取A关于y轴的对称点A 连接A B 则 A B 2 OM 故 AB 2 OM AB A B 4 所以点B的轨迹是以A A为焦点 长轴长为4的椭圆 38 考向一 考向二 考向三 2 因为B为CD的中点 39 考向一 考向二 考向三 直线与圆锥曲线的综合解题策略判别式法例5在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆C1 a b 0 的左焦点为F1 1 0 且点P 0 1 在C1上 1 求椭圆C1的方程 2 设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2 y2 4x相切 求直线l的方程 难点突破 1 由焦点坐标知c 1 由点P在椭圆上知b 从而求得椭圆方程 2 求直线方程即求直线方程中的斜率k 截距m 由l同时与椭圆C1和抛物线C2相切 联立两个方程组 由判别式等于0得出关于k m的两个方程 解之得直线方程 40 考向一 考向二 考向三 解 1 因为椭圆C1的左焦点为F1 1 0 点P 0 1 在C1上 所以c 1 b 1 所以a2 b2 c2 2 所以椭圆C1的方程为 y2 1 2 由题意可知 直线l的斜率显然存在且不等于0 消去y并整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0
