《高三复习专题系列《数列100题斩》 -答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三复习专题系列《数列100题斩》 -答案（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 数列 100 题斩 解析 1 解 1 设 n a的公差为 d 由题意得 1 3315ad 由 1 7a 得 d 2 所以 n a的通项公式为29 n an 2 由 1 得 22 8 4 16 n Snnn 所以当 n 4 时 n S取得最小值 最小值为 16 2 解 1 设 n a的公比为q 由题设得 1n n aq 由已知得 42 4qq 解得0q 舍去 2q 或2q 故 1 2 n n a 或 1 2n n a 2 若 1 2 n n a 则 1 2 3 n n S 由63 m S 得 2 188 m 此方程没有正 整数解 若 1 2n n a 则21 n n S 由63 m S 得26
2、4 m 解得6m 综上 6m 3 解 I 设等比数列 n a的公比为 q 由 132 1 2 aaa 可得 2 20qq 因为0q 可得2q 故 1 2n n a 设等差数列 n b的公差为 d 由 435 abb 可得 1 34 bd 由 546 2abb 可得 1 31316 bd 从而 1 1 1 bd 故 n bn 所以 数列 n a的通项公式为 1 2n n a 数列 n b的通项公式为 n bn II i 解 由 I 有 1 2 21 1 2 n n n S 故 1 11 2 1 2 21 222 1 2 n nn kkn n kk Tnnn ii 证明 因为 1121 2 222
3、 222 1 2 1 2 1 2 21 kkkk kk k T bbkkkk kkkkkkkk 所以 3243212 2 1 2222222 2 1 2 3243212 nnn n kkk k Tbb kknnn 既证 4 解 1 由条件知 1 12 n nn and b 因为 1 nn abb 对 n 1 2 3 4 均成立 即 1 12 1 n nd 对 n 1 2 3 4 均成立 即 1 1 1 d 3 3 2d 5 7 3d 9 得 75 32 d 因此 d 的取值范围为 7 5 3 2 2 由条件知 1 11 1 n nn abnd bbq 若存在 d 使得 1 nn abb n 2
4、 3 m 1 成立 即 1 111 1 2 3 1 n bndbqb nm 即当2 3 1nm 时 d 满足 11 11 2 11 nn qq bdb nn 因为 1 2 m q 则 1 12 nm qq 从而 1 1 2 0 1 n q b n 1 1 0 1 n q b n 对2 3 1nm 均成立 因此 取 d 0 时 1 nn abb 对2 3 1nm 均成立 下面讨论数列 1 2 1 n q n 的最大值和数列 1 1 n q n 的最小值 2 3 1nm 当2nm 时 111 2222 111 nnnnnnnn qqnqqnqn qqq nnn nn n 当 1 12mq 时 有2
5、 nm qq 从而 1 20 nnn n qqq 因此 当21nm 时 数列 1 2 1 n q n 单调递增 故数列 1 2 1 n q n 的最大值为 2 m q m 设 2 1 x f xx 当 x 0 时 ln21 0 n l 2 2 x fxx 所以 f x单调递减 从而 f x 故 2q 所以 1 2 n n an N 由 可知 1n n aq 所以双曲线 2 2 2 1 n y x a 的离心率 22 1 11 n nn eaq 由 2 5 1 3 qq 解得 4 3 q 因为 2 1 2 1 1 kk qq 所以 2 1 1 1 kk qqk N 于是 1 12 1 1 1 n
6、 n n q eeeqq q 故 123 1 43 3 nn n eee 10 解析 由题意有 1 1 1045100 2 ad a d 即 1 1 2920 2 ad a d 解得 1 1 2 a d 或 1 9 2 9 a d 故 1 21 2 n n n an b 或 1 1 279 9 2 9 9 n n n an b 由1d 知21 n an 1 2n n b 故 1 21 2 n n n c 于是 2341 357921 1 22222 n n n T 2345 11357921 2222222 n n n T 可得 22 11112123 23 222222 n nnn nn T
7、 故 n T 1 23 6 2n n 11 解析 2 212 n nn F xfxxxx 则 1 10 n Fn 1 2 1 1 111112 1220 1 22222 1 2 n n n n F 所以 n F x在 1 1 2 内至少存在一个零点 n x 又 1 120 n n Fxxnx 故在 1 1 2 内单调递增 所以 n F x在 1 1 2 内有且仅有一个零点 n x 因为 n x是 n F x的零点 所以 0 nn F x 即 1 1 20 1 n n n x x 故 1 11 22 n nn xx 解法一 由题设 1 1 2 n n nx gx 设 2 1 1 1 0 2 n
8、n nn nx h xfxgxxxxx 当1x 时 nn fxgx 当1x 时 1 1 1 12 2 n n n nx h xxnx 若01x 1111 1 2 2 nnnn n n h xxxnxx 11 11 0 22 nn n nn n xx 所以 h x在 0 1 上递增 在 1 上递减 所以 1 0h xh 即 nn fxgx 综上所述 当1x 时 nn fxgx 当1x 时 nn fxgx 当1x 时 nn fxgx 当1x 时 用数学归纳法可以证明 nn fxgx 当2n 时 2 22 1 1 0 2 fxgxx 所以 22 fxgx 成立 假设 2 nk k 时 不等式成立 即
9、 kk fxgx 那么 当 1nk 时 111 k 1k 1 1 2 k kkk k kx fxfxxgxxx 则 11 k 1 11 x 1 kkk k hxkxk kxk kx 所以当01x 0 k h x k h x在 1 上递增 所以 1 0 kk h xh 从而 1 k 1 211 2 kk xkxk gx 故 11 kk fxgx 即 1nk 不等式也成立 所以 对于一切2n 的整数 都有 nn fxgx 11nk 若01x 1 1 n k x 1 1 n k x 0 k mx 从而 k mx在 0 1 上递减 k mx在 1 上递增 所以 1 0 kk mxm 所以当01 2 k
10、k xxabkn 且时 又 11 ab 11nn ab 故 nn fxgx 综上所述 当1x 时 nn fxgx 当1x 时 nn fxgx2 2 31313131 k kkkkk 另一方面 由上已证的不等式知 00 121 2 kk aaaa 得 0 0 110 0001020 11111 111 k k aak kkk ak ak a 0 00000 11111 2 2 21212121 k kkkkk 综上 0 1 00 11 2 2 3121 k a kk 13 解析 64 2 2 141211 daSdaSaSd 41 2 2421 SSSSSS 成等比 解得12 1 1 naa n
11、 12 1 12 1 1 4 1 1 1 1 nnaa n b n nn n n 当n为偶数时 11111 1 33557 n T 1111 23212121nnnn 12 2 12 1 1 n n n Tn 11111 1 33557 n nT 当 为奇数时 1111 23212121nnnn 12 22 12 1 1 n n n Tn 为奇数 为偶数 n n n n n n Tn 12 22 12 2 14 解析 由题意 Nnaaa n b n 2 21 32 6bb 知 32 3 28 bb a 又由 1 2a 得公比2q 2q 舍去 所以数列 n a的通项公式为2 n n anN 所以
12、 1 1 2 123 22 n n n n n a a aa 故数列 n b的通项公式为 1 n bn nnN i 由 知 11111 21 n n nn cnN abnn 所以 11 12 n n SnN n ii 因为 1234 0 0 0 0cccc 当5n 时 11 1 12 n n n n c n n 而 11 11212 0 222 nnn n nnnnn 得 5 15 5 1 1 22 n n n 所以当5n 时 0 n c 综上对任意nN 恒有 4n SS 故4k 15 解析 I 因为 n a是递增数列 所以 11 n nnnn aaaap 而 1 1a 因此又 123 2 3
13、aaa成等差数列 所以 213 43aaa 因而 2 30pp 解得 1 0 3 pp 当0p 时 1nn aa 这与 n a是递增数列矛盾 故 1 3 p 由于 21n a 是递增数列 因而 2121 0 nn aa 于是 212221 0 nnnn aaaa 但 221 11 22 nn 所以 212221 aaaa nnnn 又 知 221 0 nn aa 因此 2 2 21 2121 1 1 22 n n n nn aa 因为 2n a是递减数列 同理可得 212 0 nn aa 故 2 21 2122 1 1 22 n n nnn aa 由 即知 1 1 1 2 n nn n aa
14、于是 121321 nnn aaaaaaaa 21 11 1 1 222 n n 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 n 1 41 1 332 n n 故数列 n a的通项公式为 1 41 1 332 n n n a 16 解析 点 nn a b在函数 2xf x 的图象上 所以2 n a n b 又等差数列 n a的 公差为d 所以 1 1 1 2 22 2 n nn n a aad n a n b b 因为点 87 4 ab在函数 f x的图象上 所以 8 78 42abb 所以 8 7 24 d b b 2d 又 1 2a 所以 22 1 1 23 2 n n n Snadnnnnn
15、 由 2 2 ln2 xx f xfx 函数 f x的图象在点 22 a b处的切线方程为 2 22 2ln2 a ybxa 所以切线在x轴上的截距为 2 1 ln2 a 从而 2 11 2 ln2ln2 a 故 2 2a 从而 n an 2n n b 2 n n n an b 23 123 222 n 2n n T 2341 1123 22222 n n n T 所以 2341 111111 2222222 n nn n T 11 12 11 222 nnn nn 故 2 2 2 n n n T 17 解析 当2n 时 11 1 222 nnn nnn aSS 当1n 时 11 2aS 1n
16、 时 11 Sa 当2n 时 1nn Sa n a是 H 数列 1 1 1 22 n n nn n Snadnd 对n N m N使 nm Sa 即 1 1 1 2 n n ndmd 取2n 得1 1 dmd 1 2m d 0d 2m 又m N 1m 1d 设 n a的公差为 d 令 111 1 2 n banan a 对n N 11nn bba 1 1 n cnad 对n N 11nn ccad 则 1 1 nnn bcanda 且 nn bc 为等差数列 n b的前 n 项和 11 1 2 n n n Tnaa 令 1 2 n Tm a 则 3 2 2 n n m 当1n 时1m 当2n 时1m 当3n 时 由于 n 与3n 奇偶性不同 即 3 n n 非负偶数 m N 因此对n 都可找到m N 使 nm Tb 成立 即 n b为 H 数列 n c的前 项和 1 1 2 n n n Rad 令 1 1 nm cmadR 则 1 1 2 n n m 对n N 1 n n 是非负偶数 m N 即对n N 都可找到m N 使得 nm Rc 成立 即 n c为 H 数列 因此命题得证 18
