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1、课时跟踪检测（十八） 双曲线的简单性质一、基本能力达标1设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()AyxBy2xCyx Dyx解析：选C由题意知，2b2,2c2，则b1，c，a，所以双曲线的渐近线方程为yx.2双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A B4C4 D.解析：选A双曲线标准方程为：y21，a21，b2.由题意b24a2，4，m.3双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B由方程组得a2，b2.双曲线的焦点在y轴上，双曲线的标准方程为1.4双曲线
2、1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选B由题意，得|F1F2|2c，|MF2|c，|MF1|c.由双曲线定义得|MF1|MF2|c2a，所以e.5双曲线1的离心率为e，e(1,2)，则k的取值范围是_解析：由题意知k0，且a2，c，12，解得12k0.答案：(12,0)6已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法
3、二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：y217根据以下条件，求双曲线的标准方程(1)过P(3，)，离心率为；(2)与椭圆1有公共焦点，且离心率e.解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)e，2即a2b2.又过点P(3，)有：1，由得：a2b24，双曲线方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)同理有：a2b2，1，由得a2b24(不合题意，舍去)综上所述，双曲线的标准方程为1.(2)由椭圆方程1，知长半轴a13，短半轴b12，半焦距c1，所以焦点是F1(，0)，F2(，0)因此双曲线的焦点也为(
4、，0)和(，0)，设双曲线方程为1(a0，b0)由题设条件及双曲线的性质，有解得即双曲线方程为y21.8设双曲线1(0aa，所以e212，则e2.于是双曲线的离心率为2.二、综合能力提升1若双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为()Ay2x296By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：选D设双曲线方程为x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4)，所以0，b0)由题意，知过点(4，2)的渐近线方程为yx，所以24，即a2b.设bk(k0)，则a2k，ck，所以e.故选D.3已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰
5、三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.解析：选D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.4已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析：由题意，知，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)5求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(2)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等
6、；(3)与椭圆1有公共焦点，离心率为.解：(1)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上得，得2.故所求双曲线的标准方程为1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(1625)因为e，所以1，解得21.故所求双曲线的标准方程为1.6已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.法二：(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.
