《第1章 1.2.2 充要条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章 1.2.2 充要条件（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2 2 充要条件 1 会判断一个命题的充要条件 2 会求一个命题的充要条件 3 会证明 p 是 q 的充要条件 1 一般地 如果既有 p q 又有 q p 就记作 p q 这 时 p 既是 q 的充分条件 又是 q 的必要条件 则 p 是 q 的 条件 简称 条件 其中 叫做等 价符号 p q 表示 p q 且 q p 2 如果 那么 p 与 q 互为充要条件 也称 p 与 q 是等价的 3 传递性 若 p q q r 则 充分必要 充要 p q p r 要点1 若 p 是 q 的充要条件 那么 p 唯一吗 剖析 不唯一 例如对命题q a 1 命题 p a3 1 命题 p 直线 x y 0
2、 与直线 x ay 0 垂直 p 和p 都是q 的充要条件 事实上 由充要条件的传递性知道 若 p p 都 是 q 的充要条件 那么 p p 要点2 判断 p 是 q 的什么条件 的本质是什么 剖析 本质是判断命题 若 p 则 q 与 若 q 则 p 的真假 若同为真 则 p 与 q 互为充要条件 若一真一假 则 p q 是充分条件与必要条件中的一个 要点3 判断充要条件关系的主要方法有哪些 剖析 判断充要条件关系的主要方法有三种 定义法 若 p q 则 p 是 q 的充要条件 利用原命题和逆命题的等价性来确定 若 p 则 q 及 若 q 则 p 的真假性 利用集合的包含关系 若 A B 则
3、a A 是a B 的充 分条件 a B 是a A 的必要条件 若 A B 则 a A 是a B 的充要条件 题型1 充要条件的判断与计算 例1 下列各题中 p 是 q 的充要条件的有哪些 1 在 ABC 中 p A B q BC AC 2 p a b0 q a 0 b 0 3 p 数 a 能被 6 整除 q 数 a 能被 3 整除 思维突破 在判断 p 是 q 的充要条件时 必须同时满足 p q 且 q p 两个条件缺一不可 自主解答 在 1 2 中 p q 所以 1 2 中的 p 是 q 的充要条件 在 3 中 p q 但 q p 3 中的 p 不是 q 的充要条件 例2 已知关于 x 的方
4、程 1 a x2 a 2 x 4 0 a R 求方程有两正根的充要条件 变式与拓展 1 下列各小题中 p 是 q 的充要条件的是 p m6 q y x2 mx m 3 有两个不同的 零点 p f x f x 1 q y f x 是偶函数 p cos cos q tan tan p A B A q UB UA A B C D 答案 D 解析 在 中 y x2 mx m 3 有两个不同的零点 m2 4 m 3 0 m6 在 中 q p 因为当f x 是 偶函数时 f x 可以等于 0 而 p 中分母 f x 0 在 中p是q的既 不充分也不必要的条件 在 中 A B A A B UB UA 故 中
5、的 p 是 q 的充要条件 2 方程 x2 mx 1 0 在 R 上有两个负根的充分必要条件 是 B A m 2 或 m 2 B m 2 C m 3 D m 2 或 m 2 题型2 充要条件的证明 例3 2012 年湖北武汉质检 求证 关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负根的充要条件是 a 1 思维突破 证明 p 是 q 的充要条件 只需分别证明充分性 p q 和必要性 q p 变式与拓展 3 已知函数 f x x2 ax b 当 p q 满足 p q 1 时 证明 pf x qf y f px qy 对于任意实数 x y 都成立的充要 条件是 0 p 1 证明 p q 1 pf x qf y f px qy p 1 p x2 q 1 q y2 2pqxy p 1 p x y 2 1 充分性 若 0 p 1 则 p 1 p 0 p 1 p x y 2 0 pf x qf y f px qy 2 必要性 当 pf x qf y f px qy 时 p 1 p x y 2 0 x y 2 0 p 1 p 0 0 p 1 题型3 求充要条件 变式与拓展 4 已知方程 x2 2k 1 x k2 0 求方程有两个大于 1 的 实数根的充要条件
