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1、第1课时二次根式的概念1了解二次根式的概念；(重点)2理解二次根式有意义的条件；(重点)3理解(a0)是一个非负数，并会应用(a0)的非负性解决实际问题(难点)一、情境导入1小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？2已知圆的面积是6，你能求出该圆的半径吗？大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！二、合作探究探究点一：二次根式的概念【类型一】 二次根式的识别 (2015安顺期末)下列各式：； ，其中二次根式的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有满足题意故选B.方法总结：判断一个式
2、子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：含有二次根号“”；被开方数为非负数两者缺一不可变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 二次根式有意义的条件 代数式有意义，则x的取值范围是()Ax1且x1 Bx1Cx1且x1 Dx1解析：根据题意可知x10且x10，解得x1且x1.故选A.方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：利用二次根式的非负
3、性求值【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值 (1)已知a，b满足|b1|0，求2ab的值；(2)已知实数a，b满足a3，求a，b的值解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可解：(1)由题意知得2a8，b1，则2ab9；(2)由题意知解得b2.所以a0033.方法总结：当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；当题目中，同时出现和时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a0.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】 与二次根式有关的最值问题 当x_时，3的值最小，最小值为_解析：由二次根式的非负性知0，当0即x时，3的值最小，此时最小值为3.故
4、答案为，3.方法总结：对于二次根式0(a0)，可知其有最小值0.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课的内容是在我们已学过的平方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件第2课时二次根式的性质1理解和掌握()2a(a0)和|a|；(重点)2能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算(难点)一、情境导入如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是，则面积是多少？你会计算吗？二、合作探究探究点一：利用
5、二次根式的性质进行计算【类型一】 利用()2a(a0)计算 计算：(1)()2; (2)()2；(3)(2)2; (4)(2)2.解析：(1)可直接运用()2a(a0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2a2b2，再利用()2a(a0)进行计算解：(1)()20.3；(2)()2(1)2()213；(3)(2)222()212；(4)(2)222()24(xy)4x4y.方法总结：形如(n)2(m0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2a2b2，化为n2()2(m0)后再化简变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用|a|计算 计算：(1)；
6、(2)；(3).解析：利用|a|进行计算解：(1)2；(2)|；(3)|.方法总结：|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】 利用二次根式的性质化简求值 先化简，再求值：a，其中a2或3.解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答解：aaa|a1|，当a2时，原式2|21|211；当a3时，原式3|31|347.方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第10题探究点二：利用二次根式的性质进行化简【类型一】 与数轴的综合 如图所示为a，b在数轴上的位置，
7、化简2.解析：由a，b在数轴上的位置确定a0，ab0，ab0.再根据|a|进行化简解：由数轴可知2a1，0b1，则ab0，ab0.原式2|a|ab|ab|2aab(ab)2a2b.方法总结：利用|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：把被开方数的底数移到绝对值符号中；根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】 与三角形三边关系的综合 已知a、b、c是ABC的三边长，化简.解析：根据三角形的三边关系得出bca，bac，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可解：a、b、c是ABC的
8、三边长，bca，bac，原式|abc|bca|cba|abc(bca)(bac)abcbcabac3abc.方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系(三角形中任意两边之和大于第三边)，得出不等关系，再结合二次根式的性质进行化简变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计二次根式的性质是建立在二次根式概念的基础上，同时又为学习二次根式的运算打下基础本节教学始终以问题的形式展开，使学生在教师设问和自己释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯性质1和性质2容易混淆，教师在教学中应注意引导学生辨析它们的区别，以便更好地灵活运用第1课时二次根式的乘法1掌握二次
9、根式的乘法运算法则；(重点)2会进行二次根式的乘法运算(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长m，宽m，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法法则成立的条件 式子成立的条件是()Ax2 Bx1C1x2 D1x2解析：根据题意得解得1x2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：(a0，b0)，必须注意被开方数是非负数这一条件变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法运算 计算：(1)；(2)9()；(3)2()；(4)2a()(a0，b0)解析：第(1)小题直接按二次根式的乘法法则进行计算，第
10、(2)，(3)，(4)小题把二次根式前的系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘解：(1)原式；(2)原式(9)27；(3)原式(2)；(4)原式2a16a3b.方法总结：二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】 逆用性质3(即，a0，b0)进行化简 化简：(1)；(2)；(3)(a0，b0)解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号解：(1)140.57；(2)；(3)15a3b.方法总结：利用积
11、的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 二次根式的乘法的应用 小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)解析：根据“矩形的面积长宽”“圆的面积半径的平方”进行计算解：设圆的半径为rcm.因为矩形木板的面积为168(cm)2，所以r2168，r2(r2舍去)答：这个圆的半径为2cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式
12、子进行计算，体现了转化思想变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算第2课时二次根式的除法1会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)2掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)3掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用(重点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)_；_(2)_；_；_.二、合作探究探究点一：二次根式的除法 计算：
13、(1)；(2)；(3)；(4)()(a0，b0)解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简解：(1)；(2)；(3)；(4)()().方法总结：二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；最后结果要化为最简二次根式变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题探究点二：最简二次根式 下列二次根式中，最简二次根式是()A. B.C. D.解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得a2a2ba2(1b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满
