《2020届高考数学（理）解析几何高频考点06 抛物线及其性质（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学（理）解析几何高频考点06 抛物线及其性质（含解析）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届高考数学（理）解析几何高频考点06 抛物线及其性质【考点讲解】1、 具体目标：掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质能运用抛物线的性质解决与抛物有关的综合问题.二、知识概述：设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形来源:Zxxk.Com焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率焦点注：顶点.则焦点半径;则焦点半径为.通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.（或）的参数方程为（或）（为参数）.【温馨提示】1凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB
2、的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到3.若AB是抛物线的焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2)则(1)y1y2p2,x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切【真题分析】1.【2019年高考全国卷】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）A2 B3 C4 D8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质。法一：因为抛物线的焦点是椭圆
3、的一个焦点，所以，解得，故选D法二：检验排除的方法，比如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D【答案】D2.【2019年高考天津卷】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）AB CD【解析】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，.故选D.【答案】D3.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直
4、线与C交于M，N两点，则 .A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【分析】本题考点是直线与抛物线相交求有关交点坐标，以及向量的数量积的问题的小综合.由题中的条件可以先求出直线方程，再利用直线与抛物线相交的关系，求出直线与抛物线相交的两个交点坐标，写出物线的焦点坐标，表示出向量的坐标，利用向量的数量积公式求出相应的结果完成了题的要求.【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【答案】D4.【2017课标1理】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2
5、与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A16B14C12D10【解析】本题考点是抛物线的简单性质.法一：设，直线l1的方程为，联立方程组得，消去得到，所以有，同理直线l2与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知=+4，当且仅当（或-1时）取等号.法二：此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.【答案】A5.【2017课标II文】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方）， 为的准线，点在上且,则到直线的距离为 （ ） A. B. C. D. 【解析】本题的考点是直线与抛物线的位置的关系，由题知，与抛物线联立得，解得，所以，因为，所以，因为焦点，所以，所
6、以点到的距离为.【答案】C6.【2018年高考北京卷文数】已知直线l过点（1，0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_.【解析】本题考查的是抛物线的性质问题，利用抛物线的对称性，抛物线上点的坐标.由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.【答案】7.【2017课标II】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有，结合题意有，线段的长度：.本题的考点是抛物线的
7、定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【答案】68【2018年高考全国理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率.设，则，所以，所以.取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设F为的焦点.因为,所以.因为为AB中点，所以平行于x轴.因为M(1,1)，所以，则，即.故答案为2.【答案】29.【2019年高考北京卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的方
8、程为_【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1，0），准线l的方程为x=1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x1)2+y2=22，即为.【答案】10.【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 .【解析】由抛物线定义可得：，因为，所以渐近线方程为.【答案】11.【2019年高考全国卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，AB=4，M过点A，B且与直线x+2=0相切（1）若A在直线x+y=0上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并
9、说明理由【解析】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.（2）存在定点，使得为定值.理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.【答案】（1）的半径或；
10、（2）存在，理由见解析.12.【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【解析】题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故【答案】（1）；（2）.13.【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点
11、，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记的面积分别为（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标【解析】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系问题.（1）由题意得，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=1.来源:学.科.网（2）设，重心.令，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x轴上，故，得.所以，直线AC方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而.令，则m0，.当时，取得最小值，此时G（2，0）14.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（1
12、）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【解析】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质等问题的解决.（1）由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.设，则.直线的方程为.令，得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.设点，则，.令，即，则或.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.来源:学科网ZXXK【模拟考场】1.已知双曲线C1：1(a0，b0)的离
13、心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2y Cx28y Dx216y【解析】1的离心率为2，2，即4，3，.x22py(p0)的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.【答案】D2.设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 .来源:Zxxk.Com【解析】本题的考点是抛物线的方程与圆的方程与向量的数量积的综合应用.设圆心的坐标为，则点焦点，向量，解得，由于圆C与y的正半轴相切，则，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为.【答案】3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .【解析】本题的考点是抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质.由抛物线定义可得，因为，所以有，渐近线方程为.【答案】4.设抛物线 （t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为，则p的值为_【解析】试题分析：抛物线的普通方程为，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，所以，解得【答案】5.设P是抛物线y2
