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1、- 1 -浙江省 2011 年中考数学专题 10：四边形1、选择题1.（浙江舟山、嘉兴 3 分）如图，五个平行四边形拼成一个含 30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（A）48cm （B）36cm （C）24cm（D）18cm【答案】A。【考点】菱形的性质，平行四边形的性质。【分析】根据四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，从图可求出的面积： 2ABCD1SS2cm 四 边 形 + =-=1-74。从而可求出菱形的面积：2EFGHS148cm + 菱
2、形。又EFG=30，菱形的边长为 6cm。从而根据菱形四边都相等的性质得：四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm。故选 A。2.（浙江温州 4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交与点 O已知AOB=60，AC=16，则图中长度为 8 的线段有A、2 条 B、4 条 C、5 条 D、6 条【答案】D。【考点】矩形的性质。等边三角形的判定和性质。【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，AC=16，所以 AO=BO=CO=DO=8；又由AOB=60，所以三角形 AOB 是等边三角形，所以 AB=AO=
3、8；又根据矩形的对边相等得，CD=AB=AO=8从而可求出线段为 8 的线段有 6 条。故选 D。3.（浙江台州 4 分）在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，对角线AC、BD 相交于点 O下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是 - 2 -A12 B13C23 DOB 2OC 2BC 2 【答案】B。【考点】梯形的性质，平行的性质，勾股定理的逆定理。【分析】所给的关于角的条件，只要能得出1+2=90的均满足题意，另外 D 选项运用勾股定理的逆定理即可作出判断：A、若1=4，由4+2=90，则1+2=90，选项正确；B、1=3 得不出1+2=90，不符合题意，选项错误；C、2=3，则1+2
4、=1+3=90，选项正确；D、根据勾股定理的逆定理可得，此选项符合题意，选项正确。故选 B。4.（浙江义乌 3 分）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D。【考点】全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，平行的性质 【分析】由已知利用 SAS 证明B
5、ADCAE，可得到 CE=BD，结论正确；由已知利用平行四边形的性质可得 AE=CD，再结合ADE 是等腰直角三角形可得到ADC 是等腰直角三角形，结论正确；由已知利用 SAS 证明BAEBAD。可得到ADB=AEB，结论正确；由对顶角相等的性质得出GFD=AFE，以及GDF+GFD=90，从而得出CGDEAF，得出比例式 CDG EFA，因此 CDAE=EFCG，结论正确。故正确的有 4 个。故选 D。二、填空题1.（浙江金华、丽水 4 分）如图，在ABCD 中，AB=3，AD=4，ABC=60，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，- 3 -与 DC 的延长线相交于点 H，则D
6、EF 的面积是 【答案】2 3。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积。【分析】根据平行四边形的性质得到 AB=CD=3，AD=BC=4，根据平行线的性质得到HCB=B=60，根据三角形的内角和定理求出FEB=CEH=30，根据勾股定理求出BF、CH、EF、EH 的长，根据三角形的面积公式即可求出答案：平行四边形 ABCD，AB=CD=3，AD=BC=4。EFAB，EHDC，BFE=90。ABC=60，HCB=B=60。FEB=CEH=180BBFE=30。E 为 BC 的中点，BE=CE=2，CH=BF=1。由勾股定理得，
7、EF=EH= 3。S DEF =SDHF S DHE = 12DHFH DHEH= 12（13）2 3 （13） =2 3。2.（浙江湖州 4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线AC、BD 交于点 O，S AOD S BOC 19，AD1，则 BC 的长是 【答案】3。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】ADBC，AODBOC。AOD 与BOC 的面积之比为 1：9， AD：BC= 1：3，AD=1，BC=3。三、解答题1.（浙江舟山、嘉兴 10 分）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这
8、四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）；- 4 -（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC= （0 90）， 试用含 的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由【答案】解：（1）四边形 EFGH 的形状是正方形。（2）在平行四边形 ABCD 中，ABCD， BAD=180ADC=180。HAD 和EAB 是等腰直角三角形，HAD=EAB=45。HAE=360HADEABBAD
9、=3604545（180）=90+。因此，用含 的代数式表示HAE 是 90+证明：AEB 和DGC 是等腰直角三角形，AE= 2AB，DC= CD，在平行四边形 ABCD 中，AB=CD，AE=DG。HAD 和GDC 是等腰直角三角形，HDA=CDG=45。HDG=HDA+ADC+CDG=90+=HAE，HAD 是等腰直角三角形，HA=HD。HAEHDC。HE=HG。四边形 EFGH 是正方形。理由是：由同理可得：GH=GF，FG=FE。HE=HG，GH=GF=EF=HE。四边形 EFGH 是菱形。HAEHDG，DHG=AHE。AHD=AHG+DHG=90，EHG=AHG+AHE=90。四边
10、形 EFGH 是正方形。【考点】正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质。【分析】（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案。- 5 -（2）HAE=90+，根据平行四边形的性质得出，BAD=180，根据HAD 和EAB 是等腰直角三角形，得到HAD=EAB=45，求出HAE 即可。根据AEB 和DGC 是等腰直角三角形，得出 AE= 2AB，DC= CD，平行四边形的性质得出 AB=CD，求出HDG=90+=HAE，证HAEHDC，即可得出HE=HG。由同理可得：GH=GF，FG=FE，推出 GH=GF=EF=HE，得出菱形 EFGH，证HA
11、EHDG，求出AHD=90，EHG=90，即可推出结论。2.（浙江温州 8 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，点 M 是 AB 的中点求证：ADMBCM【答案】证明：在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD=BC，A=B。点 M 是 AB 的中点，MA=MB。ADMBCM（SAS）。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定。【分析】由等腰梯形得到 AD=BC，A=B，根据 SAS 即可判断ADMBCM。3.（浙江杭州 10 分）在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABC=90，AB=2BC=2CD，对角线 AC与 BD 相交于点 O，线段 OA，OB 的中点分别为E，F。（1）求证
12、：FOEDOC；（2）求 sinOEF 的值；（3）若直线 EF 与线段 AD，BC 分别相交于点 G，H，求 ABCD的值。【答案】解：（1）EF 是OAB 的中位线，EFAB，EF= 12AB。而 CDAB，CD= 12AB，EF=CD，OEF=OCD，OFE=ODC，FOEDOC（ASA）。（2）在 RtABC 中，AC= 22ABC 4B 5C， sinOEF=sinCAB= 1。- 6 -（3）AE=OE=OC，EFCD，AEGACD。 EGA1 CD3，即 EG= CD。同理 FH= CD， B2CD9H53【考点】直角梯形的性质，三角形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性
13、质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】（1）由 EF 是OAB 的中位线，利用中位线定理，得 EFAB，EF= 12AB，又CDAB，CD= 12AB，可得 EF=CD，由平行线的性质可证FOEDOC。（2）由平行线的性质可知OEF=CAB，利用 sinOEF=sinCAB= BCA，由勾股定理得出 AC 与BC 的关系，再求正弦值；（3）由（1）可知 AE=OE=OC，EFCD，则AEGACD，利用相似比可得 EG= CD，同理得FH= 3CD，又 AB=2CD，代入 ABCDGH中求值即可。4.（浙江衢州 10 分）如图，ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，
14、过点 A 作 AEBC，过点 D 作 DEAB，DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E，连接 EC（1）求证：AD=EC；（2）当BAC=Rt时，求证：四边形 ADCE 是菱形【答案】证明：（1）DEAB，AEBC，四边形 ABDE 是平行四边形。AEBD，且 AE=BD。又AD 是 BC 边上的中线，BD=CD。AECD，且 AE=CD四边形 ADCE 是平行四边形。AD=CE。（2）BAC=Rt，AD 上斜边 BC 上的中线，AD=BD=CD。又四边形 ADCE 是平行四边形，四边形 ADCE 是菱形。【考点】平行四边形的判定和性质；直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。- 7 -【分析】（1）先证四边形 ABDE 是平行四边形，再证四边形 ADCE 是平行四边形，即得AD=CE。（2）由BAC= Rt，AD 是斜边 BC 上的中线，即得 AD=BD=CD，证得四边形 ADCE是菱形。5.（浙江湖州 10 分）)如图，已知 E、F 分别是 AABCD的边 BC、AD 上的点，且 BEDF(1)求证：四边形 AECF 是平行四边形；(2)当 BC10，BAC90，且四边形 AECF 是菱形时，求 BE 的长【答案】解：（1）证明：四边形 A
