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1、普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞1983 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分 120 分）一 （本题满分 10 分）本题共有 5 小题，每小题都给出代号为A，B，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的 奎 屯王 新 敞新 疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内 奎 屯王 新 敞新 疆每一个小题：选对的得 2 分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得 0分 奎 屯王 新 敞新 疆1两条异面直线，指的是 （ D ）（A）在空间内不相交的两条直线 奎 屯王 新 敞新 疆（B）分别位于两个不同平面内
2、的两条直线 奎 屯王 新 敞新 疆（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 奎 屯王 新 敞新 疆（D）不在同一平面内的两条直线 奎 屯王 新 敞新 疆2方程 x2-y2=0 表示的图形是 （ A ）（A）两条相交直线 （B）两条平行直线（C）两条重合直线 （D）一个点3三个数 a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ D ）（A）a ,b ,c 都不是零 （B）a ,b ,c 中最多有一个是零（C）a ,b ,c 中只有一个是零（D）a ,b ,c 中 至 少 有 一 个 不 是 零4设 则 的值是 （ C ）,3)rcos(（A） （B） （C） （D）323235 这三个数之间的
3、大小顺序是 （ C ）.02,log,.0普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞（A） （B）3.0log23.02.0 3.02.log3.0（C） （D）.l 2.二 （本题满分 12 分）1在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程 ,xy的图形，并写出它们交点的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆yx2在极坐标系内，方程 表示什么曲线？画出它的图形 奎 屯王 新 敞新 疆cos5解：1.图形如左图所示 奎 屯王 新 敞新 疆交点坐标是：O（0，0） ，P（1，-1）2曲线名称是：圆 奎 屯王 新 敞新 疆图形如右所示 奎 屯王 新 敞新 疆三 （本题满分 12 分）1已知 ，求
4、微分 奎 屯王 新 敞新 疆xey2sindy2一个小组共有 10 名同学，其中 4 名是女同学，6 名是男同学 奎 屯王 新 敞新 疆要从小组内选出 3 名代表，其中至少有 1 名女同学，求一共有多少种选法 奎 屯王 新 敞新 疆解：1. dxexedxedy xx 2sin)(2(sin)2sin( .)co)co2 (10341624614 种CC或： )310 种Y 2 1 1 O X P O X ( ,0) 25普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞四 （本题满分 12 分）计算行列式（要求结果最简）：解：把第一列乘以 加到第 2 列上，再把第三列乘以 加到sin
5、)cos(第 2 列上，得 0cossiniico2csosini)in()i(ci 原 式五 （本题满分 15 分）1证明：对于任意实数 t，复数 的模ittz|s|c|zr适合 奎 屯王 新 敞新 疆42r2当实数 t 取什么值时，复数 的幅角主值 适合ittz|sn|co| ？401证：复数 （其中 t 是实数）的模 为ittz|sn|co| |zr.|sin|co|)|i|()|s|(22r 要证对任意实数 t，有 ，只要证对任意实数 t，4r成立 奎 屯王 新 敞新 疆2|sin|co|tt对任意实数 t，因为 ，所以可令1|sin|co| 22tt且 ，于是|,si|i|,cs|)
6、,0(.24si2|n|o| tt2因为复数 的实部与虚部都是非负数，所以 zttz|n|co|cos2ssinin)i(coi普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞的幅角主值 一定适合 奎 屯王 新 敞新 疆从而20.1040tg显然 奎 屯王 新 敞新 疆因为0|zr .11|010,|cos|in tgtgtgtgttg所 以由于 ).(4,2为 任 意 整 数 的 解 是因 此并 且 它 的 周 期 是内 是 增 函 数在 ktk ty 这就是所求的实数 t 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆六 （本题满分 15 分）如图，在三棱锥 S-ABC 中，S 在底面上的射影
7、 N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱 SC 上的一点，使截面 MAB 与底面所成的角等于NSC，求证 SC 垂直于截面 MAB 奎 屯王 新 敞新 疆证：因为 SN 是底面的垂线，NC 是斜线SC 在底面上的射影，ABNC，所以 ABSC（三垂线定理）连结 DM 奎 屯王 新 敞新 疆因为 ABDC，ABSC，所以 AB 垂直于 DC 和 SC 所决定的平面 奎 屯王 新 敞新 疆又因 DM 在这个平面内，所以 ABDM 奎 屯王 新 敞新 疆MDC 是截面与底面所成二面角的平面角，MDC=NSC 奎 屯王 新 敞新 疆在MDC 和NSC 中，因为MDC=NSC，DCS 是公共角，所以DMC
8、=SNC=90 0 奎 屯王 新 敞新 疆从而 DMSC 奎 屯王 新 敞新 疆从 ABSC，DMSC，可知 SC截面 MAB 奎 屯王 新 敞新 疆七 （本题满分 16 分）S M P C A N D B 普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞如图，已知椭圆长轴|A 1A2|=6，焦距|F 1F2|= ，过椭圆焦点 F14作一直线，交椭圆于两点 M，N 奎 屯王 新 敞新 疆设F 2F1M=（0）当 取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？解一：以椭圆焦点 F1为极点，以 F1为起点并过 F2的射线为极轴建立极坐标系 奎 屯王 新 敞新 疆由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦
9、距 c= ，短半轴 b=1，离心率 e= ，中心到准线距离232= ,429焦点到准线距离 p= .椭圆的极坐标方程为42cos31cos1ep.2cos896| ,cos231|.2|1 2 MNNFF解得 .5.2cos或以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当 或 时，|MN|等于短轴的长 奎 屯王 新 敞新 疆65解二：以椭圆的中心为原点，F 1F2所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为 .192yMN 所在直线方程为 )()2(tgkxky其 中Y M A1 F1 O F2 A X N 普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞解方程组 )
10、2(192xky消去 y 得 .0)18(9362kx 2 22212196 916)(36)()(|tg kyxMN下同解法一 奎 屯王 新 敞新 疆解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN 所在直线的参数方程为代入椭圆方程得)(sinco2是 参 数ttyx.01cos24)9(co22 tt设 t1,t2是方程两根，则由韦达定理， .sin9co64)(| .s,sin9co 221212121 tttMNt下同解一 奎 屯王 新 敞新 疆解四：设|F 1M|=x ,则|F 2M|=6-x 奎 屯王 新 敞新 疆|F1F2|= ，F 2F1M=4在MF 1F2中由余弦定理得 03cos,cos
11、8)4()6(2xx21x同理，设|F 1N|=y，则|F 2N|=6-y 在F 1F2N 中，由余弦定理得普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞.cos896cs231cos231| , ).cos(28)4()6( 22 MNyy下同解一 奎 屯王 新 敞新 疆八 （本题满分 16 分）已知数列a n的首项 a1=b(b0） ，它的前 n 项的和 Sn=a1+a2+an(n1),并且 S1，S 2，S n，是一个等比数列，其公比为 p（p0 且|p|1） 奎 屯王 新 敞新 疆1证明：a 2,a3,a3,an,(即a n从第二项起）是一个等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆2
12、设 Wn=a1S1+a2S2+a3S3+anSn(n1),求 （用 b,p 表示） 奎 屯王 新 敞新 疆nWlim1证：由已知条件得 S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n1） 奎 屯王 新 敞新 疆因为当 n2 时，S n=a1+a2+an-1+an=Sn-1+an ,所以an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n2)从而),2()1(21npbpn因此 a2,a3,a3,an,是一个公比为 p 的等比数列 奎 屯王 新 敞新 疆2解：当 n2 时， ,)1(221 pbpSannn且由已知条件可知 p2ba.2.如果正实数 a,b 满足 ab=ba.且 aba， 只要证
13、blnaalnb,即只要证 aln考虑函数 奎 屯王 新 敞新 疆因为但 时，)0(xyex所以函数 内是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆,l12x ),(lny在因为 eba 奎 屯王 新 敞新 疆bal2证一：由 ab=ba，得 blna=alnb，从而 奎 屯王 新 敞新 疆ln考虑函数 ，它的导数是)0(lnxy.l12x因为在（0，1）内 ，所以 f(x)在（0，1）内是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆0)(xf由于 00,所以 ab0,可推出 bb，则 ，而 ，这也与 矛盾 奎 屯王 新 敞新 疆11la balog所以 a 不能大于 b 奎 屯王 新 敞新 疆因此 a=b 奎 屯王 新 敞新 疆证三：假如 a0 奎 屯王 新 敞新 疆由于 00,根据幂函数或指数函数的性质，得 和 ，1a1)(a
